DI RICCARDO DE PAOLIS 



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i poli Ai , B'j di -4, , jBj si corrispontlono in una projettività II*. Se almeno uno degli 

 elementi , coincide con uno degli elementi 0\ , 0", , la IV è singolare e i suoi 

 elementi apolari sono O'j , 0"^ 



Essendo 0\0\A,B^f\0\0', A,B,, abbiamo che 0\0\A,B,~/\ 0',0",B,A, {*). 

 Ne segue che, se restano fissi Ai, B^ e se Ap^ varia noi fascio Sj ^ , i poli Ai , 5, 

 di Al, Bi si corrispondono in una projettività 11''^ Se A^ coincide con uno O'i degli 

 elementi 0\, 0'\, ovvero se B., coiacide con uno 0", degli elementi 0',, 0"g, ovvero 

 se Ai Bi coincide con uno 0\ 0"^ dei due gruppi base, la II''* è singolare ed ha 

 O'i , 0"i per elementi apolari. Se ^, B^ coincide con O'i 0'^ , ovvero con 0"i 0"^ , la 

 n*' è indeterminata. 



Se 0\ coincide con O'j ed 0"i coincide con 0",, si ha un fascio di involuzioni 

 ed il teorema si dimostra come nel caso precedente. 



Supponiamo che Sj j possegga due gruppi base coincidenti con 0\ 0'^ e non sia 

 costituito da involuzioni. Se i poli di due qualimque elementi Ai, Bi rispetto ad un 

 aggruppamento Ap., , non singolare di Sj , , sono rispettivamente A^, B.,, e rispetto ad 

 un altro aggruppamento A'p^, non singolare di S, , , sono rispettivamente A'2, B'.,, 

 in una projettività dotata di due elementi doppi coincidenti con 0'^ ad A^ corrisponde 

 A'i, a B, corrisponde B'^ (44); quindi in un'altra projettività IP, avente pure due 

 elementi doppi coincidenti con 0', , ad A'^ corrisponde B'^ (**). Ne segue che, restando 

 fisso Api e gli elementi Ai, Bi, per cui restano fissi anche A^, B.^, se A'p^ varia nel 

 fascio S,j, i poli A'i,B'2, di Ai,Bi, si corrispondono nella projettività II*. Senno 

 degli elementi A^, Bi coincide con 0\, la D* è una involuzione singolare che ha gli 

 elementi apolari coincidenti con . 



Chiamando B' il polo di B^ rispetto ad A'^,, abbiamo: O'iAiBiB'iJ^ O'^A'^B'^B.^; 

 ma 0',A'iB'i^O',BiAi (44), dunque: 0\AyB,B\J{0'iB.^AiA!i. Ne segue che, re- 

 stando fisso Api e gli elementi A^, B^, per cui restano fissi anche A^, Bi, se A'p^ 

 varia nel fascio Si,j, i poli A'^, B\ di i?, si corrispondono in una projettività II* *. 

 Se Al coincide con O'^, ovvero se B^ coincide con 0\, la II*'* è singolare ed 0\, 0'^ 

 sono i suoi elementi apolari. Se A^ B^ coincide con 0\ 0'^ la II* * è indeterminata. 



Finalmente supponiamo che tutti i gruppi costituiti da O'i insieme a ciascun 

 elemento della JP,* siano base del fascio e prendiamo due qualunque elementi 

 Ai,Bi. Se 0\, O'i sono gli elementi apolari di un aggruppamento Api di Sj^, i poli 

 di Al, Bi rispetto ad Api coincidono con 0'^ e quindi si corrispondono in una pro- 

 jettività identica II*, quando Afi varia nel fascio Sj j . Se uno degli elementi yl^, J5i 

 coincide con 0\ la II* è indeterminata. 



Se prendiamo due qualunque elementi Ai , 7?j si vede subito che i loro poli 

 rispetto ad uno stesso aggruppamento del fascio Sj j si corrispondono in una projet- 

 tività singolare II*-* che ha 0\ , B^ per elementi apolari. Se Ai coincide con O'i la 

 n** è indeterminata. 



47. — Dal teorema ora dimostrato si deduce un semplice modo per ottenere 

 l'aggruppamento Ap^ che contiene un dato gruppo Ay A, ed appartiene al fascio Si^^ 



(*) Loc. cit., n. 220. 

 (**) Loc. cit., n. 85, 221. 



