526 LE CORRISPONDENZE PROTETTIVE 



individuato da due dati aggruppamenti A'pt,X"p,. Se A'i,A"i sono rispettivamente i poli 

 di Ai rispetto ad X'p^, A"i)j, se jBj è un elemento qualunque della Fi\ distinto da 

 Ai, A'i, A"i, e se Bi, Jff,, B"t sono rispettivamente i poli di Bi rispetto ad Xp,, A'pj , 

 A"pt, siccome un aggruppamento di S,, contiene il gruppo Bi A,, dobbiamo avere: 

 AiA'iA'\Bi']\ BtB'i B''iAi. L'elemento B^, che soddisfa questa condizione, è il polo 

 di Bi rispetto ad A»,. Se C,. D, sono rispettivamente i poli di Ai, A'\ rispetto ad 

 A'pi, abbiamo: AìA^AI^B^'J^CìA^DìB',, e quindi: BiB\B",A,j\C,A,BiBlt\YiQY cui: 

 BiB',B"i^CtAiDi . Ora quando Bi coincide con A'i,B'i coincide con A^ e 7i", è 

 il polo di A'i rispetto ad Al'p^. Ne segue che devo essere: AìBìB''^"^ A, C,Di, e 

 perciò che il polo di A\ rispetto ad Ajì^ si ottiene cercando l'elemento B, coiijugato 

 a C, nella involuzione che ha A^ come elemento doppio e contiene il gruppo D, 5", . 

 Analogamente si può ottenere il polo di A'\ rispetto ad Xp, . 



48. — Un gruppo di aggruppamenti Ap^ è un fascio, se ciascuno dei poli 

 di due qualunque elementi fissi, come A^, B^ ovvero Ay, Bt, presi rispetto ad Ap,, 

 genera una delle forme F^^ , F* e corrisponde projettivamente all'altro, quando Ap^ 

 varia nel gruppo. 



Siano Api, A'jìì, A"pi tre qualunque aggruppamenti del gruppo, sia ^i^j>Aj)j, 

 AiA,>A'pi e sia Bi un elemento che non appartenga ad un gruppo comune ad 

 Ajjj , A'pi , cioè tale che rispetto ad essi abbia due poli distinti B^ , B\ . Se A!', , B"t 

 sono i poli di Al , B^ rispetto ad A"p)ì , siccome i poli di Ai, B^, presi rispetto ad 

 uno stesso aggruppamento del gruppo, per ipotesi si devono corrispondere projettiva- 

 mente, e siccome ad A, devono corrispondere i due elementi distinti B, , B', si vede 

 che ad A^ devono corrispondere tutti gli elementi della Fi^, e perciò anche B''^. Ne 

 segue che A''^ deve coincidere con A, (o se no, che Ai dev'essere apolare rispetto ad 

 A"pi) e quindi che ogni gruppo come Ai A^ comune a due aggruppamenti qualunque 

 Api , A'pi del gruppo, è comune a tutti gli altri A"jjj . Siccome poi, per ipotesi, quando 

 Ajh varia nel gruppo, il polo B, di Bi deve generare la Fi^, è chiaro che il gruppo 

 deve coincidere con il fascio individuato da due qualunque dei suoi aggruppamenti. 



Nello stesso modo si dimostra il teorema quando invece di due elementi fissi 

 come Al , Bi si considerino due qualunque elementi fissi come Ai, B^. 



49. — I gruppi degli elementi doppi degli aggruppamenti di un fascio Si^,, 

 contenuto in una forma Fi costituiscono una involuzione \pi i . 



Il teorema è evidente se Si j è un fascio singolare, ed allora la i è una in- 

 voluzione singolare. Escludiamo questo caso e consideriamo tre aggruppamenti Ap^ , 

 A'pi, A"pi di t i cui elementi doppi siano rispettivamente A,B, A',B'; A",B". 

 Se A'i, A"i sono i poli rispetto ad A'^),, A"po dell'elemento A considerato come appar- 

 tenente alla Fi=Fi, e se B'^, B"i sono i poli rispetto ad A'^jj, A"pi dell'elemento B 

 considerato come appartenente alla Fi=Fi, dobbiamo avere (47): AAiA'iB^BB\B'\A, 

 e quindi : A Ali Al'i^B B\ B\ . Ora evidentemente : A! B'AlBl\ Al B'AB'^ , 

 A"B"A"iB~f\A"B"AB\, per cui: A'A'iB^B'B'U , A"A"iB^B"B\A; ma sappiamo 

 che è: A A'i A'i"^ B B',B\ , dunque. AA'A"^BB'B" ed il teorema è dimostrato. 



