DI RICCARDO DE PAOLIS 



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50. — Essendo projettive le forme generate dai poli di due qualunque elementi 

 fissi, come Ai, B^, ovvero A^, B^, presi rispetto agli stessi aggruppamenti di un fascio 

 S, , (40), se rappresentiamo projettivamente queste forme sopra una stessa Fi stabi- 

 liamo una corrispondenza biunivoca tra gli elementi della i^'j e gli elementi di S,_,, 

 corrispondenza che è individuata, prendendo ad arbitrio tre elementi di Si , ed i tre 

 elementi corrispondenti della Fi . La chiameremo una corrispondenza projettiva , o 

 più brevemente una projettività tra S, , e Fi. 



V. 



Gli agg^ruppamenti projettivi, di ordine qualunque, 

 nelle forme geometriche fondamentali di 1^ specie. 



61. — Prendiamo n forme F^,Fy,...,F^ ed indichiamo con 

 gli elementi della F^'. Tra essi sia stabilita una corrispondenza [1, 1, 1] , ?2-univoca 

 di rango w — 1 j35{, tale che tutte le sue corrispondenze polari di 1° rango }37| 

 siano projettive. Il suo aggruppamento autopolare, cioè l'aggruppamento costituito dai 

 gruppi G„ di elementi ciascuno dei quali corrisponde agli altri n — 1 j36{, lo chia- 

 meremo aggruppamento proiettivo di ordine n e lo indicheremo con il simbolo Aj;„ 

 Dimostreremo in seguito la esistenza di aggruppamenti projettivi di ordine qualunque 

 w > 2 . Per indicare che 0„ appartiene ad Ap„ , useremo il simbolo G„ > Ap„ . 



Dalla definizione stessa di un aggruppamento projettivo discende immediata- 

 mente che: 



Dato un aggruppamento Ap„ e preso uno qualunque dei gruppi come 

 Gii{Ai^, Ai^ , Ai^) , Jc<.n , tutti i gruppi (jn-h ^<^^^ cAe 6iGr„_;t>A^„ costituiscono 



V aggruppamento A^''p„_i, j37| che è pure projettivo. 



52. — Affinchè sia projettivo un aggruppamento A„ , autopolare rispetto ad 

 una corri spondensa n-univoca di rango n—1, è sufficiente che siano projettivi tutti 

 gli aggruppamenti di 2° ordine che sono polari rispetto ad esso e ciascuno dei 

 quali è contenuto in una delle coppie di forme come le Fi^F^^, F^^Fi^, . . . , F^^^F" . 



Prendiamo un gruppo Gr„_3 (JL^, A^, . .. , A„) e tre elementi qualunque A^ , A'^ , A^ . 

 Se i poli dei gruppi J.2^3(x„_3, J.'j^3Gr„_3, presi rispetto ad A„ , sono rispettivamente 

 Ai , A\ , restando fissi A^ , A'^ , Cr„_3 e facendo variare A3 i gruppi A3 Ai , A3 A'i 



generano rispettivamente gli aggruppamenti Aa"^***"""*, a/ che sono projettivi, e quindi 

 Al , A'i si corrispondono projettivamente. Ne segue che gli aggruppamenti projettivi 



A,'^'*'""' costituiscono un fascio (48) e corrispondono projettivamente ad A3 (50); 

 quindi se restano fissi 0„_3 ed A^ , gli elementi A3 , A3 si corrispondono projettiva- 

 mente e perciò è projettivo l'aggruppamento polare a/**'""^. Analogamente si dimostra 



