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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



che è projettivo un qualunque aggruppamento di 2° ordine polare rispetto ad A„ e 

 contenuto in un' altra qualunque coppia delle forme Fi, F^*, F" ; dunque A„ è 

 projettivo. 



53. — Gli aggruppamenti di 2° ordine polari di un gruppo G„_i rispetto a 

 due dati aggruppamenti A'p„ , A"p„ hanno almeno due gruppi comuni (43), dunque 

 X'p„, A"j;„, se n>2, hanno infiniti gruppi comuni. 



Indichiamo con il simbolo S, „ il gruppo di tutti gli aggruppamenti projettivi 

 di ordine n, due qualunque dei quali contengono tutti i gruppi comuni a due dati 

 aggruppamenti , À."2)„ . Abbiamo dimostrato la esistenza di questi gruppi Si „ nel 

 caso di 11=2; ora supponiamola dimostrata qualunque sia n. In seguito la proveremo 

 (63) e faremo vedere (69) che nella varietà di tutti i possibili aggruppamenti pro- 

 jettivi di un dato ordine n un gi'uppo S, „ è un fascio; per comodo lo chiameremo 

 fino da ora con questo nome e chiameremo gruppo base di xm fascio ogni gruppo 

 comune ai suoi aggruppamenti. 



64. — Dalla definizione stessa di un fascio di aggruppamenti projettivi discende 

 immediatamente che: 



Un fascio di aggruppamenti projettivi è individuato da due qualunque dei 

 suoi aggruppamenti. 



Gli aggruppamenti polari di un gruppo G^{Ai^, Af^,. . . , presi rispetto a 



ciascun aggruppamento di un fascio S, „ costituiscono pure un fascio : 



lo chiameremo fascio polare di rispetto a Si^„ e lo indicheremo con il simbolo 



J_ A. ...A. g 



S " '* '*, ovvero anche con S * 



l,n — /< l,n — A 



Fra gli aggruppamenti del fascio polare di un gruppo A^ A^... A„ rispetto ad 

 un fascio S, „ ve ne è uno, ed uno solo, che contiene un dato gruppo A^, A^, se 

 questo gruppo non è base del fascio polare di ^3 , , . . . , ^ , cioè se AiAìA^A^... A„ 

 non è base del fascio dato; dunque: 



Un gruppo A^A,... A„ , se non è lase di un fascio Sj appartiene sempre 

 ad un suo aggruppamento, e ad tino solo. 



55. — Un gruppo di aggruppamenti projettivi di ordine n è un fascio, se 

 è un fascio il gruppo di tutti gli aggruppamenti polari rispetto ad essi di un 

 qualunque gruppo fisso come G„_2 (^3 , J.4 , . . . , J.„) . 



Se À!p„, X"p„ sono due qualunque aggruppamenti del gruppo e se G„(4i,^s,.. .,A„) 



è un gruppo comune ad essi, gli aggruppamenti polari A'pi^^' "^" , A"p/'" '^" hanno 

 comune il gruppo A^ A., , che per ipotesi deve essere comune a tutti gli aggruppamenti 

 polari di G„_j rispetto agli aggruppamenti del gruppo, i quali per conseguenza devono 

 tutti contenere G„ . Siccome poi se G'„ {A\ ,A'i, ... , A'„) non è comune ad A'p„ , A"p)„ , 

 tra gli aggi-uppamenti del gruppo ve ne è uno, ed uno solo, che contiene G'„, perchè 

 tra gli aggruppamenti polari di A'3... A!„ ve n' è uno , ed imo solo , che contiene 

 A!i A'i , resta dimostrato che il dato gruppo di aggruppamenti projettivi è un fàscio. 



