DI RICCARDO DE RAOLIS 



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66. — Siano AiA^Ag, A^A'^A't due gruppi di uno stesso aggruppamento A/»^ 

 appartenente ad un dato fascio S, , , e sia A'\ il polo di A\ A^ rispetto ad A.pj . 



Gli elementi Ai, A"i sono i poli di A^, A', rispetto ad Ai?/', e siccome quando Apj 



varia nel fascio S, ,, A^)/' varia nel fascio polare Si,/' (54), gli elementi ylj, A'\ 

 (tenendo fissi A^, A'^) si corrispondono projettivamente (46). Similmente (tenendo fissi 

 anche A3, A'3) si corrispondono projettivamente gli elementi A\, A!\. Ne segue che 

 pure Al, A'i si corrispondono projettivamente e che perciò si corrispondono projettiva- 

 mente gli aggruppamenti che sono polari di A3, A'3 rispetto ad uno stesso aggruppamento 

 di Si 3 . In generale si corrispondono projettivamente gli aggruppamenti polari di due 

 qualunque gruppi fissi come G-„_j (^3 , . .., A„) e G'„_, (^'3 , . . . , A'„) presi rispetto ad 

 uno stesso aggruppamento di un fascio Si „ . Questa proprietà è vera, come sappiamo, 

 per un fascio di aggruppamenti di 3*^ ordine, resterà perciò dimostrata in generale , 

 se dimostreremo che è vera per un fascio Si „ , supponendola vera per un fascio Si „_i. 



Prendiamo due qualunque elementi A^, A', ed i poli Ai,A"i dei gruppi AìO„_ì, 

 A'iG„_i rispetto ad uno stesso aggruppamento Aj)„ di Si „ . Siccome gli aggruppamenti 



polari di Ct„_j rispetto agli aggruppamenti di Sj,,, costituiscono un fascio Si ^ gli 

 elementi Ai , A"i si corrispondono projettivamente. Se A'i è il polo di A',_ Gr'„_, rispetto 

 ad Aj)„ , è chiaro che A"i , A'i sono i poli di A3 , A'3 rispetto agli aggruppamenti polari 

 dei gruppi Ai,...,A„, A'i,...,A'„ presi rispetto ad uno stesso aggruppamento del 



fascio polare S^"i „_i; quindi, per l'ipotesi fatta, A"i, J.'i si corrispondono projettiva- 

 mente. Ne segue che si corrispondono projettivamente anche Ai , A'i e che perciò si 

 corrispondono projettivamente gli aggruppamenti polari di G„_2, Gr'„_j presi rispetto 

 ad uno stesso aggruppamento di Si „ . Osservando che se lasciamo fissi gli elementi 

 A'i , A'3, . . . , A'„ si corrispondono projettivamente Ai, A',, ed osservando che ciascuno 

 degli elementi Ai , A^, . . . , A., è polo dei rimanenti n — l rispetto ad A.jp„ , deduciamo 

 subito che si corrispondono projettivamente gli aggruppamenti polari di due qualunque 

 gruppi, come Gr„_5 {A^^ , . . . , A^ ) , G'„_, (A'j^ A'j ^ presi rispetto ad uno stesso 



aggruppamento di Si „. Da ciò discende immediatamente che: 



Si corrispondono projettivcmente i poli di dtie qualunque gruppi fissi 

 G,^i[Ai^, . . . , Ai ), G'„_i(Aj^, . . . , Aj ^) presi rispetto ad uno stesso aggruppa- 

 mento di un fascio Si „ . 



Un gruppo di aggruppamenti Ap„ è uìi fascio, se ciascuno dei poli di due 

 qualunque gruppi fissi come G„_i {A^ , A3,. .. , A„) , G'„_i (Ai , A3, . .. , A„) , ovvero 

 come G„_i(^i, ^s,. .. , ^„) , 0'„_i (^'1 , ^3 , ..,A„), genera una delle forwe e 

 corrisponde projettivamente all'altro quando Ap„ varia nel gruppo. 



Il teorema è vero (55), perchè i poli di G„_i , G'„_i rispetto ad Ap„ sono i poli 



di A, , Al ovvero di Ai, A'i rispetto ad Apj " e quindi questo aggruppamento genera 

 un fascio quando Ap„ varia nel gruppo (48). * 



57. — Essendo projettive le forme generate dai poli di due qualunque gruppi 

 fissi come G„_i {A^^ , . . . , A^ ^) , G'„_i {Aj^ , . .. , Aj ^) presi rispetto ad uno stesso 



aggruppamento di un fascio Si,„ (56), se rappresentiamo projettivamente queste forme 



Serie II. Tom. XLII. 



