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LE CORRISPONDENZE PROJETTITE 



sopra una stessa i^, , stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra gli elementi della 

 I\ e gli elementi di S, „ , corrispondenza che è individuata prendendo ad arbitrio tre 

 elementi di S, „ e i tre corrispondenti della i^, . La chiameremo corrispondenza biu- 

 nivoca projettiva, o più brevemente una projettività tra Sj ,, e la J'j. 



58. — Preso un gruppo G„_, (A^, A„) , tutti i gruppi come -4, , l?i J?,, . , . , 

 che insieme a G„_i costituiscono un elemento 0„ di un aggruppamento A.p„, costituì- 



scono l'aggruppamento Ap^ quindi abbiamo J?i. ..~f\AiBt... Gli elementi A^.B^... 

 sono i poli di Gr„_j rispetto ad A^)^ii , A.p^li, ... Ne segue che presi ad arbitrio 

 due gruppi G„_. {A3 , . . . , A„) G'„_2 {A'j A'„) i loro poli rispetto agli stessi aggrup- 

 pamenti Aj}^^^_^ , Ap„!_i , ■ • . si corrispondono projettivamente e corrispondono projetti- 

 vamente ad per cui (56): 



Dato un aggruppamento Ap„, gli aggruppamenti Ap„ì_■^, polari rispetto ad 

 esso degli elementi di una stessa forma Fi costituiscono un fascio S", e corri- 

 spondono projettivamente ai loro poli A^. 



59. — Supponiamo che esistano gli aggruppamenti 4Pn-i i loro f^a-sci Si^„_, , 

 e facciamo vedere che allora esistono gli aggruppamenti A.p„ ed i loro t'asci S,_„ . 

 Siccome poi ci è già nota la esistenza degli aggruppamenti projettivi di 2° ordine e 

 dei loro fasci, resterà così dimostrata la esistenza degli aggruppamenti projettivi di 

 ordine qualunque e dei loro fasci. 



60. — Sulle forme Fi,...,F" prendiamo un fascio S'i„_i (59) ed i suoi 



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aggruppamenti Ajj„ii , Apn^x » • ■ • facciamoli corrispondere projettivamente agli elementi 

 yli , ^1 , . . . della F^ (57). Se all'elemento -4i , Bi,... uniamo rispettivamente gli 



elementi di ciascun gruppo di ciascun aggruppamento A.p^,!_i , Ap^ij,... corrispondente, 

 otteniamo infiniti gruppi G„ i quali costituiscono un aggruppamento Ap„ . Infatti se 

 si prende un qualunque gruppo come G„_o (^3 , A^, . . . , A„) e se A,,B,, ... sono i 



poli di G„_j rispetto ad Aj)„!.i , Ajj^ij abbiamo AiBi. .. j\A,Bi... , e quindi i 

 gruppi come Ai Ai, B^B,, . . . costituiscono un aggruppamento proiettivo di 2° ordine, 

 e perciò i gruppi G„ costituiscono un aggruppamento kp„ (52). 



GÌ. — Per individuare un aggruppamento À.p„ si possono prendere arbitraria- 

 mente sulle Fi^, .... F" tre aggruppamenti di uno stesso fascio SS_„_, e tre elementi 

 della F,* come elementi ad essi corrispondenti. L'aggruppamento À.p„ si può anche 

 individuare prendendo ad arbitrio un suo gruppo A^ A, . . . A„ e gli aggruppamenti 



B C 



Aj>„ii, ^2>n-i che devono essere polari di due dati elementi ^1, Ci della F^. Infatti 

 essi determinano un fascio S\ „_i, un fuo aggruppamento kp^„l.\ contiene il gruppo 

 A^^...A„ (54). ed Ap„ si ottiene facendo corrispondere projettivamente ad Aj>„l, , 

 Ap^.. , , Ap,^_i rispettivamente gli elementi ^, , J?, , C^. 



