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62. — Suppoaiamo di avere un fascio Sj „ di aggruppamenti Ajo„, A'j)„ , A^'p„, ... 

 Siano 0„ {A^, Ai, . .., A,), G'„ (Bi , I?, , . . . , B,) due qualunque elementi di Ap„ e siano 

 rispettivamante A!^, A!\ e J5'j , i poli dei gruppi A^A^ ... A„, BìBì...B„ presi 

 rispetto ad A'j?„ , A"p„ . Gli aggruppamenti polari di A., rispetto agli aggruppamenti 



di Si_„ costituiscono il fascio polare S, *„_i ed uno di essi, polare rispetto ad un ag- 

 gruppaniento M"p„ di Si „ , contiene il gruppo B^B^ ... B„ . Rispetto ad ^"p^Li sia 

 A"i il polo del gruppo A^ .. . A„. 



Evidentemente gli elementi ^„ Aì^ , A!\ , e Bi , B'^ , B"i , A^ sono rispettiva- 

 mente i poli dei gruppi -dj yl, ... -4,, e B^B^.-.B,, presi rispetto ad Ap„, A'jy^, A"p„, A"'p„; 

 e siccome questi aggruppamenti appartengono a Si „ , avremo AiA\A'\A'"i i\BJi'.Jì"^A,. 

 Se rimangono fissi gli elementi B3, . . . , B„ i gruppi B^ B^ variano e costituiscono 

 l'aggruppamento Apf^ "^". Questo aggruppamento (quando del fascio Si „ siano dati 

 i due aggruppamenti A'p„, A"p„, mentre Ap„ sia determinato dando il suo gruppo 

 (j„{Ai, A^,. ... A„), sicché anche A\, A"i saranno determinati) si può ottenere pren- 

 dendo per ogni posizione di B^ la posizione corrispondente di A"\, legata projettiva- 

 mente a jBi, pei'chè A"\, B^ sono i poli dei dati gruppi A^-.-A^, B3...B,, rispetto 



A A 



ad uno stesso aggruppamento A"'2)„li di S, '„_i ; e poi determinando B^ in modo da 

 soddisfare la relazione : Ai A\ A!\ A"\ ~f\ B, B'., jB", A^ . 



63. — Siano A\ , A'\ e B', , B'\ i poli, rispetto ad Alp,,^ A"p„, dei gruppi 



A A 



AiAg. . . A„, BiB^. . . B„. Gli aggruppamenti polari A'p„ii , A"p„ti individuano un 



A A A 



fascio S, *„_i (59). Re A"'p„ii è quell'aggruppamento di Sij,_i che contiene il gruppo 



B1B3. .. B„ e se A"'i è il polo di A3. . .A„ rispetto ad A"'p„ti , variando B^ varia 

 A"\ e sappiamo che i?i , A"\ si corrispondono projettivamente. Ora, determinato l'ele- 

 mento J?, in modo che sia Ai A\ Al\ A"\ TT ^2 -^'s ^"2 -^2 > dimostriamo che gli elementi 

 Bi,Bi generano due forme projettive. I gruppi B^B',, B^B''^ generano gli aggrup- 



B B B B 



pamenti A'p^ ", A"^j ^ " " ; ma Bi e A"\ si corrispondono projettivamente, dunque i 

 gruppi A"\ B'i , A'\ B'\ generano due aggruppamenti Alp^ , Aì'p^ . Se jB'j B'\ cade in 



Ai , A"'j)„li coincide con A'p^^Li A"p,^ii e quindi A"\ coincide con A'i A"i . Troviamo 

 così che i gruppi A^A'i, A^A''^ appartengono rispettivamente ad A'p^, A!'p,. Un ag- 

 gruppamento Al"pi del fascio individuato da A'jOj , A!'pi contiene il gruppo A^ A"\ , ed 

 un altro Ap^ , del fascio stesso, contiene il gruppo A^ Ai . Siccome Ai , A\ , A'\ , A"\ 

 sono rispettivamente i poli di A^ rispetto ad Ap^ , Alp^ , A!'p^_ , A'Vs e B\ , B'\ , A,_ 

 sono rispettivamente i poli di Al'\ rispetto ad A'p^ , A"p, , A"'p, , avendo posto 

 AiAÌA!\A!'\~f\BiB\B'\Ai deduciamo che B^ è il polo di A!'\ rispetto ad A^, • 

 segue che A!'\ , B^ si corrispondono projettivamente, quindi si corrispondono projetti- 

 vamente 5i , Bi ed i gruppi B^ B, generano un aggruppamento Ajìf^ "^". Variando 

 il gruppo B3. .. B„ si hanno infiniti gruppi come G„ {Bi , B^ , B3 , . . . , B„) . 



Nella determinazione dei gruppi G„ abbiamo trattato nello stesso modo le forme 

 Fi^, ... , F" e diversamente le jP/, F*, trattando diversamente gli elementi Ai A, e 

 Bi, Bf. Se si scambia la Fi^ con una qualunque jPi' delle F^^, . .., F" si ottengono 

 gli stessi gruppi Infatti eseguendo il suddetto scambio gli elementi A^, Bt,B'i,B"i 



