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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



rimangono gli stessi, gli elementi A\, j!\ si mutano nei poli A',, A''^ di A^A^A^...A„ 

 rispetto ad Apn, A"j),., l'elemento Al^\ si muta nel polo Al \ Òì A^ A^ A^ . . . A„ rispetto 

 ad X"'p^L,. Ora abbiamo AA\A\A'\~/\A,A',A\A'\, perchè A„A,;A\,A\; A\,A\; 

 A"\,A"'3 sono rispettivamente i poli dei due gruppi A3Aì...A„,AìA^...A„ rispetto 

 ad uno stesso aggruppamento di S,/„_i , dunque ^3 ^.'3 ^."3 ^"'3 '/\" i?, J5'j 5", , e 

 G„ [Bi , Bx, B3, B„) è puro un gruppo ottenuto scambiando la F^*^ con la i^i'. 

 Dopo ciò possiamo dire che gli infiniti gruppi (x„ costituiscono un aggruppamento Ap„, 

 perchè sono projettivi tutti gli aggruppamenti di 2° ordine polari rispetto ad esso e 

 contenuti in una delle coppie di forme , Fi F^^ , . . . , F" (52). 



Facendo coincidere il gruppo B^B^ ... B„ con il gruppo Ai A3 ... A„, si vede 

 subito che B., coincide con A^ e quindi che AiA,...A„ è un gruppo di Xp„. 



Se Al genera la i^/ si hanno infiniti aggruppamenti Ap„ ed infiniti aggruppa- 

 menti A^jj"' *" polari di B3...B,, rispetto ad essi. Lasciando fisso 5, gli elementi 

 Al Bi si corrispondono projettivamente, perchè è Ai A'i A"i A!"i~/\Bì B\ B'\ A, ; ma 

 essi sono rispettivamente i poli di A, Bi presi rispetto ad uno stesso A.p„ ; dunque 

 gli aggruppamenti Xp^ ' generano un fascio e perciò anche gli aggruppamenti Xp„ 

 generano un fascio Si „. E poi chiaro (62) che ogni fascio Si „, si può ottenere nel 

 detto modo. 



Se facciamo coincidere Ai con Ali ^"1 , evidentemente , comunque sia preso 

 coincide rispettivamente con B\, B"i\ dunque il fascio S, „ contiene A'p„, À!'p„. 



Dopo ciò possiamo finalmente ritenere dimostrata la esistenza degli aggruppa- 

 menti projettivi di ordine qualunque e dei loro fasci, e possiamo per essi ritenere vere 

 tutte le proprietà che abbiamo fin qui enunciato. 



VI. 



Gli aggruppamenti projettivi riducibili, nelle forme 

 geometriche fondamentali di l"" specie. 



64. — Un gruppo come Gì,, {Ai, ... , A^) è apolare rispetto ad un aggruppa- 

 mento A.p„ }44{ quando insieme ad uno qualunque dei gruppi come ^„_i,{A^^i, ... ,A,) 

 costituisce un gruppo G„ elemento di Xp„ , cioè quando appartiene all'aggruppamento 

 Ai'* "~* polare di un qualunque gruppo come G„_*. 



Per ottenere maggiore generalità, negli enunciati di alcuni teoremi conveniamo 

 di considerare un gruppo G„{Ai,...,A„) come apolare rispetto ad Ap„ quando G„>A|)„. 

 Per indicare che G* è apolare rispetto ad Ap„ useremo il simbolo >Ap„ . 



65. — Se un gruppo G„_i (.4, , . . . , ^„)' costituisce un elemento G„ di Ajj„ in- 

 sieme a ciascuno di due elementi Ai,Bi, G„_i deve essere comune agli aggruppamenti 

 Ap„iì, Apn-i 6 quindi deve essere base del loro fascio. Ne segue che G„_i è allora 



