DI RICCARDO DE PAOLIS 



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apolare rispetto ad Ap„ . Questa proprietà si può generalizzare dimostrando che un 

 gruppo {Al , . . . , A/,) è apolare rispetto ad Ap„ se costituisce un elemento G„ di 

 Ap„ insieme a ciascuno dei gruppi G„_i di un aggruppamento Ap„_;i ed insieme ad 

 un gi'uppo A^^i ...A„ non appartenente ad A.p,,_^ . Siccome la proprietà è vera per un 

 gruppo G„_, , basta dimostrare che è vera per un gruppo se si suppone vera per 

 un gruppo Gyf^., . 11 gruppo A^A^.A^Af^i costituisce un elemento G„ di Ap„ insieme 



a tutti i gruppi G„_;(_i di A^)^*^^^ e costituisce pure un elemento G„ di Aj9„ insieme 

 al gruppo A^^x...A„ che non appartiene ad A_p^*'J^^^; dunque, per l'ipotesi fatta, 

 possiamo dire che A^Ax-.-A^^^ è apolare rispetto ad Ap„. Ora, se prendiamo comunque 

 gli elementi B^^x...B„, essendo Ai . . . A^^^ apolare rispetto ad Ap„, il gruppo 

 Al Al ... Ali J5^+, ... B„ costituisce un elemento G„ di Ap„ insieme ad A^^i ed insieme 

 al polo di B/i^i . • . J5„ rispetto ad Ap„_^ , quindi è apolare rispetto ad Ap„ . Eesta 

 così dimostrato che Gn costituisce un elemento G„ di Ap„ insieme ad uno qualunque 

 dei gruppi come B^^i B/^+,...B„, cioè resta dimostrato che G* è apolare rispetto ad Ap„. 



66. — Supponiamo che tutti i gruppi G^ {A^, A,) elementi di un Ap^ siano 

 apolari rispetto ad Ap„, e consideriamo un gruppo G\ [B^, ... , B^) non appartenente 

 ad Ap^ ed il suo aggruppamento Ap„_i polare rispetto ad Ap„. Un qualunque gruppo 

 elemento di Ap„_^ costituisce un elemento di Ap„ insieme a tutti gli elementi di Ap^ 

 ed insieme a G'^ , dunque ogni elemento di Ap,^_,^ è un gruppo apolare rispetto ad 

 Ap„ (65). L'aggruppamento Ap„, in questo caso, è riducibile e si divide almeno nei 

 due aggruppamenti Apf,, Aj)„_j }45{. 



Se tutti i gruppi di Ap^ sono apolari rispetto ad Ap„ , esiste un aggruppa- 

 mento Ap„_ii i cui gruppi sono tutti apolari rispetto ad Ap„, ed allora Ap„ è ridu- 

 cibile e si diride almeno nelle due parti Ap^ , Aj»„_^. 



67. — Dimostriamo che esistono aggruppamenti Ap„ i quali sono riducibili e 

 si dividono in un numero s^n di parti. 



Supponiamo riunite le n date forme Fi in 5 gruppi 



. . . ; F'^'\ ... , i^'^s , ciascuno rispettivamente costituito da ni, n^, n, forme, essendo 



naturalmente w = Mi + Wj + . . . + . Kispettivamente su ciascuno dei detti gruppi di 

 forme supponiamo dato un aggruppamento Ap„^, Ap„ , Ap„ . Se uniamo ad un 



qualunque gruppo G„ di un qualunque aggruppamento Ap„ tutti i possibili gruppi 



G,^„. costituiti da n — ??, elementi ciascuno di una delle forme che non contengono G„ , 



otteniamo un aggruppamento riducibile A„, il quale contiene come parti i dati aggrup- 

 pamenti Aj)„. (45(. Dimostriamo che A„ è projettivo. 



Preso un qualunque gruppo come G„_j (A,-^ , • • • , P^ò darsi che le due 



forme le quali non contengono elementi di G„_, siano, come le f:^^',f:'^ ip^G), 



di due diversi dei gruppi in cui le abbiamo divise, ovvero può darsi che siano, come 



le Fi'", Fi^"', di uno stesso dei detti gruppi. In quest'ultimo caso è evidente che tutti 

 i gruppi come Aj Aj , i quali insieme a G„_j danno un elemento di A„ , costituiscono 



