534 . LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



un aggruppamento projettivo di 2° ordine, che è un aggruppamento polare rispetto 



ad Ap„ . Nel primo caso gli n — 1 elementi di G„_j situati sopra « —1 delle jP/'*, ... 

 t . 



Fi '"t determinano rispetto ad A^„ un polo Aj della rimanente forma Fi , e gli 



— 1 elementi di G„_5 situati sopra n, — 1 delle i*\ '\ . . . , i^i determinano rispetto 



ad kp„^ un polo Aj ^ della rimanente forma F'""' . Evidentemente tutti i gruppi G, 



che insieme a G„_t costituiscono un elemento di A„ sono quelli costituiti da A: insieme 



ad un elemento qualunque della Fi , e quelli costituiti da A - insieme ad un ele- 



mento qualunque della -Fi sono cioè tutti gli elementi dell'aggruppamento projettivo 

 singolare di 2° ordine, che ha Aj^^ , Aj ^ per elementi apolari. In ogni caso abbiamo 



dunque veduto che tutti i gruppi Gj, che insieme a G„_j danno un elemento di A„, 

 costituiscono un aggruppamento projettivo di 2° ordine; dunque A„ è projettivo. 



68. — Se dei gruppi in cui abbiamo riunite le forme li prendiamo ciascuno 



costituito da una sola forma contata una sola volta, l'aggruppamento projettivo ridu- 

 cibile Ap„ , ottenuto nel detto modo (67), si divide in s aggruppamenti projettivi, dei 

 quali V sono di primo ordine, e perciò h.p„ possiede v elementi ciascuno apolare 

 contato una sola volta, Se Ajj„ possiede n — 1 elementi ciascuno apolare contato una 

 sola volta, cioè se v = m — 1, ne possiede evidentemente anche un altro. 



Chiameremo aggruppamento projettivo singolare ogni aggruppamento \.p„ che 

 possiede n elementi ciascuno apolare contato una sola volta, cioè ogni Aj),, che è 

 riducibile e si divide in n aggruppamenti projettivi ciascuno di 1" ordine. 



Se un aggruppamento projettivo è singolare, sono singolari tutti gli aggrup- 

 pamenti polari rispetto ad esso. 



Un aggruppamento projettivo singolare è individuato dai suoi elementi apolari. 



VII. 



I sistemi fondamentali di aggruppamenti projettivi 

 nelle forme geometriche fondamentali di 1^ specie. 



69. Siano S'i „, S"i „, S"'i,„ tre fasci tali che S', „, S", „ abbiano comune 

 un aggruppamento Ap„, S'i_„, S"'i, „ abbiano comune un aggruppamento A'p„, ed S", „, 

 S"'i_„ abbiano comune un aggruppamento A"^)„. Supponiamo che Ap„, A!p„, A"p„ 

 siano distinti e che un altro fascio Si „ abbia comuni con S'i_„, S"i_„ rispettivamente 

 gli aggruppamenti A"'p„, Al"'p„. Prendiamo un qualunque gruppo come G„_, [A^^-.^A^, 



G G G G G 



i suoi aggruppamenti polari A^^j A'i^j A"y)j A!"pi A""pi ed i 



suoi fasci polari S,, S',, S".,,""-', S"',,>--. 



Le proiettività fi' coordinate ad Ajjj*^""' e ad un aggruppamento di S', s**""* 

 dànno un fascio di aggruppamenti proiettivi autopolari, i quali tutti hanno gli stessi 



