DI RICCARDO DE PAOLIS 



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elementi doppi distinti o coincidenti. Le projettività II* coordinate ad A^, "~* 



e ad un aggruppamento di S",_j "~" dànno pure un fascio di aggruppamenti projettivi 

 autopolari i quali tutti hanno gli stessi elementi doppi A'i, B\, distinti o coincidenti (45). 



Se gli aggruppamenti autopolari delle projettività FI' rispettivamente coordinate 

 ad Ap,^"-\ A'p,*""-', ad Ai)/""-*, X"ih"-\ ad 1^;,""-», A"'p,^"-\ ad Aj?,""-*, 



A.""Pi "~* sono A^2h^ A'p,, A^pi, A^Pi, essendo Ai, elementi doppi di A^p^, A^p^, 

 ed A'i, B\ elementi doppi di A^p^, A*/),, le coppie di elementi doppi degli aggrup- 

 pamenti del fascio S,'|j individuato da A^p^, A'p^, e le coppie degli elementi doppi 

 degli aggruppamenti del fascio S^[j individuato da A'^^, A*^^, costituiscono una stessa 

 involuzione li^a i, che è quella individuata dai gruppi Ai B^, A\ B\ (49). 



Ora se Sl_'! , S''* hanno un gruppo base comune, hanno evidentemente un 

 aggruppamento comune Ap^; se Sl'j, Sj j non hanno un gruppo base comune e 

 se Ci Di è un gruppo base di Sljj e G\ D\ è un gruppo base di Sj^t, gli aggrup- 

 pamenti projettivi di 2" ordine che contengono i gruppi Ci Di, C'i D'i costituiscono 

 un fascio e quindi i loro elementi doppi costituiscono una involuzione I '2^2,1 ; ma le 

 IPi i, l'i^a,!, hanno un gruppo comune, dunque Sj'.; , S'|* anche in questo caso 

 hanno comune un aggruppamento Ap.y , i cui elementi doppi sono quelli della coppia 

 comune alle Ì-Pj^i, iVs.i- Ne segue immediatamente che i fasci 8, 2, 8"', j hanno 



G G 



comune quell' aggruppamento A"jp., che insieme ad Ap, dà la projettività 

 coordinata FI* il cui aggruppamento autopolare è Ap^. 



Se ad ogni gruppo G„_3 uniamo tutti i gruppi elementi del relativo aggruppa- 



mento A''Pi otteniamo un aggruppamento A^p,, , il quale è evidentemente comune 

 a Si „, S"'i_„. Kesta così dimostrato che se tre fasci S'| „, S"^„, S"',^„ a due a due 

 hamio un aggruppamento comune, senza però appartenere tutti ad uno stesso aggrup- 

 pamento, ogni altro fascio S, „ il quale ha un aggruppamento comune con S',^„ ed 

 un altro con S",^„, ha necessariamente un aggruppamento comune con S"',_„. Kesta 

 cioè dimostrato, come avevamo già asserito, che nella varietà di tutti i possibili ag- 

 gruppamenti projettivi, di un dato ordine n, un gruppo Si „ è un fascio (1). 



70. Dato un fascio Si „ esiste un aggruppamento Ap„ che non appartiene ad 

 esso e che perciò insieme a S, „ individua un sistema fondamentale di 2^ specie (una 

 rete) di aggruppamenti projettivi di ordine n. Così proseguendo possiamo ottenere si- 

 stemi fondamentali, di aggruppamenti projettivi di ordine n, della specie 1, 2,.., 

 y — 1, V, . . . , passando successivamente da uno di specie v — 1 ad un altro di specie 

 V , ciò che si può fare fintantoché la varietà di tutti i possibili aggruppamenti pro- 

 jettivi del dato ordino n non coincide con il sistema fondamentale già ottenuto (1). 

 Uno dei detti sistemi fondamentali, se è di specie v lo indicheremo con il simbolo S, „. 



Si possono considerare i sistemi fondamentali dedotti dai precedenti applicando 

 il principio di dualità; uno di essi, se è di specie y, lo indicheremo con il simbolo 

 2..- (9). 



Per i sistemi S, „ e 2, „ possiamo enunciare tutte le proprietà già dimostrate in 

 generale per i sistemi fondamentali di specie v costituiti da elementi qualunque. 



