536 l'È CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



71. — Un gncppo G„ (-4i , . . . , J„) appartiene a tutti gli aggruppamenti dì 

 un sistema S^„, se appartiene a v + 1 di essi capaci di individuarlo. 



Questa proprietà è vera per i fasci, cioè nel caso che sia v=l\ per dimostrarla 

 qualunque sia v basta far vedere che se è vera per un sistema S,_, „, è vera anche 

 per un sistema S, „. 



Siano Ap,„ A*/?„ , . . . , A'j)„ v + l aggruppamenti die individuino un sistema „ 

 ed abbiano comune il gruppo G„ . Tolto Xp„ i rimanenti v aggruppamenti indi^^duano 

 un sistema S^_i „ (5), i cui aggruppamenti, come abbiamo supposto, contengono tutti 

 Gr„. Ora S^ „ si può individuare con Xp„ e S^_, „ (6); ma allora ciascun fascio gene- 

 ratore di S,„ contiene due aggruppamenti ai quali appartiene G„, l'aggruppamento 

 Ap„ e quello che il fascio ha comune con S,_, „ ; dunque G„ è base di tutti i fasci 

 generatori di „ e perciò appartiene a tutti i suoi aggruppamenti. 



Se un gruppo G„ appartiene a tutti gli aggruppamenti di un sistema „ diremo 

 che è un suo gruppo base. 



72. — In generale tutti gli aggruppamenti di un sistema „ che contengono 

 r dati gruppi G„ (^i, . . . , , essendo r^v, costituiscono un sistema S^_r,„- 



Siano Aj),„ A*2;„, . . . , A^^Jn v+l aggruppamenti che individuino un sistema S, „. 

 Dato un qualunque gruppo G„, possiamo supporre che Xp„ non lo contenga e possiamo 

 individuare S, „ con Xp„ e con il sistema S,,_i „ indiriduato dagli altri v aggruppamenti 

 dati. Ciascun aggruppamento A*^?„ , . • • , A'jj„ individua con Aj5„ un fascio generatore 

 di S,_„, ed un aggruppamento X'^p,,, ... , X'''p„ di questo fascio, ed uno solo, contiene 

 G„. I V aggruppamenti A"/),„ X'^p^ indi\dduano un sistema S'^_i,„ (5) che ha G„ per 

 gruppo base (71) e che appartiene a „ (6). Non solo tutti gli aggruppamenti di 

 S',_i „ sono aggruppamenti di „ che contengono G„ ; ma inversamente ogni aggrup- 

 pamento A'j)„ di „ se contiene G„ appartiene a S'^_i „ , Infatti se X'p„ non appar- 

 tenesse a S'^_i,„ il fascio generatore individuato da Ap„,A'j;„ conterrebbe un aggrup- 

 pamento X"2>„ di distinto da Xp„ (7) e quindi, contenendo due aggi'uppamenti 

 X'p„ , X"p„ ai quali apparterrebbe G„ , dovrebbe avere G„ per gruppo base ; ma ciò 

 è assurdo, perchè Ajj„ non contiene G„ ; dunque Xp„ appartiene a S',_, „ . 



Avendo così dimostrato che tutti gli aggruppamenti di „ contenenti G„ costi- 

 tuiscono un sistema „, si vede subito che tutti quelli contenenti un numero r^v 

 di gruppi G„ in generale costituiscono un sistema S,_^^ (7). Posto r = v abbiamo che: 

 Un aggruppamento di un sistema S^^ , ed in generale uno solo , contiene 

 V dati gruppi G„ (^i, .... A^. 



73. — Supponiamo adesso dimostrato che tutti i possibili aggruppamenti Ap„_, 

 costituiscano un sistema fondamentale di specie iS^i(w — 1) = 2"~' — 1, e quindi che 

 2"~^ — 1 gruppi G„_i in generale appartengano ad un aggruppamento Ap„_, e ad uno 

 solo (72). Per individuare un aggruppamento Aj;„ sappiamo che si può prendere ad 

 arbitrio un suo gruppo A^., A^, ... , e gli aggruppamenti Xp^_^ , Aj)^l, che devono 

 essere polari rispetto ad esso di due dati elementi B^, Ci della (61). Cia- 

 scuno dei due aggruppamenti è individuato da iVi(?j — 1)=:2"~' — 1 gruppi G„_i ; 



B C 



quelli di Xp„^_y insieme a e quelli di Xp„^_^ insieme a dànno 2(2"-'— 1) = 2" — 2 



