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gruppi G„ di Ap„; unendo ad essi l'iiltro gruppo ^, ^, ...^„ di Ap„, abbiamo in 

 tutto Ni{n) = 2"—Ì gruppi G„ che individuano Ap„ . Un sistema fondamentale, di 

 aggruppamenti projettivi di ordine n, la cui specie sia minore di N^(n) non può con- 

 tenere tutti i possibili aggruppamenti projettivi di ordine «, perchè se così fosse gli 

 Ni (n) gruppi G„ , disposti nel modo considerato, non potrebbero appartenere sempre 

 ad un A.p„. Se prendiamo un sistema („),„, un suo aggruppamento A'p„, ed in 



generale uno solo, contiene gli N^{n) gruppi considerati (72); ma essi individuano Ap„, 

 dunque coincide con A'p„ e S;y^(„) „ contiene tutti i possibili aggruppamenti pro- 

 gettivi di ordine n. Siccome poi l'ipotesi fatta per arrivare a questa conclusione è 

 verificata per « = 2 , perchè allora («) = 3,6 perchè un aggruppamento proiettivo 

 di 2° ordine è individuato da 3 dei suoi gruppi, possiamo asserire che: 



Tutti i possibili aggruppamenti projettivi di ordine n costituiscono un si- 

 stema essendo N, (n) — 2"— 1, 



e quindi che : 



In generale tutti i possibili aggruppamenti projettivi di ordine n che con- 

 tengono r dati gruppi G„(-4i,... , A„) costituiscono un sistema „, se è v=:Ni(n) • l'^O, 

 e posto r = iVi(n), possiamo asserire che: 



Un aggruppamento projettivo di ordine n è individuato da Nj(n) = 2° — Idei 

 suoi gruppi G„ , comunque scelti. 



74. — Se un aggruppamento Ap„_^ è polare di un gruppo G* rispetto a v + \ 

 aggruppamenti che individuano un sistema „ , è polare di G^j rispetto a tutti gli 

 aggruppamenti di S^^ , 



perchè allora G;, insieme ad un qualunque elemento G„_t di Ap„_^ costituisce un 

 gruppo G„ comune ai v + 1 aggruppamenti che individuano S, „ e quindi base di 

 questo sistema (71). 



Analogamente si vede che : 



Se un gruppo G;^ è apolare rispetto a v+1 aggruppamenti che individuano 

 un sistema „ è apolare rispetto a ciascun aggruppamento di „ . 



75. — Se v + 1 aggruppamenti projettivi riducibili hanno una parte comune 

 Api ed individuano un sistema „ , tutti gli aggruppamenti di questo sistema sono 

 riducibili e contengono Ap)^ come parte. 



Infatti un gruppo qualunque elemento di Ap^, essendo apolare rispetto a ciascuno 

 dei v + 1 aggruppamenti che individuano „ (66) è apolare rispetto a ciascun aggrup- 

 pamento di „ (74). 



Se tutti gli aggruppamenti di un sistema „ sono riducibili e contengono una 

 parte comune Ap^, e se v^Ni(n — k) , le loro rimanenti parti Ap„_^ costituiscono 

 un sistema „_j . 



Infatti un qualunque gruppo G^, di le elementi ciascuno di una delle forme che 

 contengono Ap^ , li a sempre uno stesso aggruppamento Ap„_^ come polare rispetto a 

 ciascuno dei v + 1 aggruppamenti che individuano „ e quindi sempre uno stesso 

 polare rispetto a S^, „• 



Serie II. Tom. XLII. u» 



