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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



Inversamente : 



Se v^N, (n — k) tutti gii Ap„ riducibili costituiti da una parte fissa Ap,, 

 ■iìtsieme a ciascun aggruppamento di un sistema H^ „_^ costituiscono un sistema „. 

 Dai teoremi precedenti discende che : 



Gli aggruppamenti projettivi singolari di ordine n che hanno n — 1 elementi 

 (ipolari fìssi costituiscono un fascio, 

 che diremo fascio singolare (44). 



Ciascun aggruppamento di un fascio singolare corrisponde projettivamente al 

 suo elemento apolare variabile. 



76. — Siano S,,„ S'i „ due fasci di una stessa rete S. ,,, e sia Aj9„ un suo 

 aggruppamento non contenuto in Si „ S'i „. Projettando S, „ da Ap„ e segando poi 

 con S',^„ (12), i due fasci vengono ad essere riferiti fra loro projettivamente (13); 

 siano A'}),,, A"p„ due loro aggruppamenti corrispondenti e sia S"j„ il fascio che li 

 projetta da A^„ 



Prendiamo un quahxnque gruppo come G„_,(5, , B3, .... B„) ed un gruppo -4, 

 base del fascio S', . essendo G„_j = 53. . . 5„ . Se chiamiamo A'i, A"i rispettiva- 



G G 



mente i poli di rispetto ad Ap^ A'jh e se chiamiamo , l^'j , 5", rispettiva- 

 mente i poli di rispetto ad A'^^"^-, A.p^^"~\ A'p/'"-', abbiamo Js/?jB'.B"jA-B,4i^',^"„ 



G C G G G 



perchè Api A'p^ A"p, "~- appartengono al fascio S"i , Quando A'j;, varia 

 nel fascio S, j gli elementi A"i, B''^ si corrispondono projettivamente; quindi, se 

 Co, C'i sono le posizioni che prende B''., quando J.", coincide rispettivamente con 

 A\, abbiamo A\B^A^A\~f\B\A,CX',, e perciò A,B,B\_B\^A,C,C',B\~/\B\C',aA,. 

 Ne segue che: A,B,B',^B",C',C,, e finalmente: A,B^B',CJ\B\C',aB'J\C',_B\B'^C,, 

 per cui vediamo che B^, B'\ si corrispondono projettivamente; ma B^, B''^ sono i poli 

 di G„_i rispetto ad A'p„ , A"p„ , dunque si corrispondono projettivamente i poli di due 

 qualunque gruppi fissi come G„_i (-4,^ , . ■ . , ? G'„_i {A'j^ , . .. , A'j- ^ presi rispetto 



a due aggruppamenti corrispondenti dei fasci projettivi S, „ , S',_„ . La proprietà stessa 

 si può enunciare più generalmente per due fasci projettivi qualunque Sj ,,, S'i„ (13) 

 di una stessa rete S, ,,, perchè da ciascuno di essi si può ottenere l'altro con un 

 numero finito di projezioni e sezioni. 



Siano S, „, S', „ non situati in una stessa rete, e tra essi sia stabilita una qua- 

 lunque corrispondenza biunivoca projettiva. Se S"i_„ è un altro fascio che ha un aggrup- 

 pamento comune con S, „ ed uno comune con S'i „, i due fasci S, „, S", „ appartengono 

 ad una rete Sj „ ed i une fasci S', „, S", „ appartengono ad una rete S'j „ . Segando 

 con le reti Sj ,,, iS'j „, le successive projezioni e sezioni per le quali si passa da S, „ a 

 S'j „ danno un numero finito di projezioni e sezioni per le quali in S, „ si passa da 

 Si,„ a S"i „ ed in S'^ „ si passa da S''^ „ a S'j ,,. Da questa osservazione, e da ciò 

 che precede, si deduce che i poli di due qualunque gruppi fissi come G,^,(J, ,...,A, ), 



G'„_i {A'j , . . ., A'j ) , presi rispetto a due aggruppamenti corrispondenti di Sj „, S j „ 



si corrispondono projettivamente, per cui possiamo dire che una corrispondenza pro- 

 jettiva tra due fasci 2, „ , i'i „ è individuata se sono date tre coppie di elementi 

 corrispondenti S, „, S^,^„. 



