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DI lilCCARUO UE PAOLIS 



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Inversamente stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra gli elementi Ap„, A.'p„ 

 di due fasci S, „ , S', „, facendo corrispondere projettivamente i poli di due gruppi come 

 0„_i, G'^i presi rispetto a due aggruppamenti corrispondenti. Una tale corrispondenza 

 è necessariamente projettiva, e ciò si dimostra subito osservando che essa è individuata 

 da tre coppie di aggruppamenti corrispondenti. 



Possiamo ora esteodere la definizione di projettività tra due fasci S, „, S',_„ chia- 

 mando projettivi anche due fasci Si „ , S, „', n = n', se è stabilita una corrispondenza 

 biunivoca tra i loro elementi Ap„ , Ap„, facendo corrispondere projettivamente i poli 

 di due gruppi come G„_i {A^^ , . . . , ^) , (x„/_i(^'y^ A'j ^ ^) presi rispetto a due 



aggruppamenti corrispondenti. Più generalmente poi si possono chiamare projettivi due 

 fasci 2, „, 2, „, , di elementi „ , S,. „/, se con un numero finito di projezioni e sezioni 

 si deducono da due fasci projettivi Si_„, Si,/. Dopo ciò si può definire nel solito 

 modo (15), una corrispondenza bitmivoca projettiva tra due qualunque sistemi 2,„, „ 

 di elementi S,^^„, S,__„/, e si può asserire che essa è individuata se a v4-2 dati elementi 



di un sistema, v + 1 qualunque dei quali lo individuino, devono corrispondere ordi- 

 natamente v + 2 dati elementi dell'altro, v+l qualunque dei quali lo individuino (17). 



Vili. 



Gli aggruppamenti projettivi armonici nelle forme 

 geometriche fondamentali di 1'^ specie. 



77. — Se una delle projettività coordinate a due dati aggruppamenti pro- 

 jettivi di 2° ordine (43) è una involuzione, ovvero è indeterminata, anche Valtra 

 è una involuzione, ovvero è indeterminata. 



Siano n\ le projettività coordinate ad Xp^ , X'p^ . Abbiamo veduto che se la 

 11 ' è una involuzione singolare , o è indeterminata , anche la 11^ è una involuzione 

 singolare, o è indeterminata (43). Se la 0^ è una involuzione non singolare e se Ji, 

 A'i sono i poli di un elemento A, rispetto ad Ap)^ , A'pi , corrispondendosi Ai , A\ 

 in doppio modo nella W, se A',_ è il polo di Ai rispetto ad A'p, , A\ deve essere il 

 polo di A'i rispetto ad Ap, , quindi anche A^ , A\ si corrispondono in doppio modo 

 nella 11- e perciò la 11^ è una involuzione. 



Diremo che Ap,, A'pi sono aggruppamenti projettivi armonici di 2° ordine, 

 quando una delle projettività 0*, IP ad essi coordinate, e quindi anche l'altra, o è 

 una involuzione o è indeterminata. Per indicare che Ap^ , A'^j^ sono armonici useremo 

 il simbolo Ap.it> A!p,, ovvero anche A!pit>Api. 



78. — Kitornando sui diversi casi particolari che possono presentare le projet- 

 tività coordinate 11\ II- (43), osserviamo che quelli nei quali esse sono involuzioni, 

 ovvero sono indeterminate, si riducono a tre : 1° ambedue le projettività coordinate 



