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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



sono involuzioni non singolari, 2° una delle projettività coordinate è una involuzione 

 singolare e l'altra è indeterminata, 3** ambedue le projettività coordinate sono inde- 

 terminate. Da questi casi si deduce clie: 



Se due aggruppamenti projettivi di 2° ordine sono armonici, e se uno di 

 essi è singolare, i suoi due elementi apolari devono costituire un gruppo dell'altro, 

 e viceversa. 



Dite aggruppamenti projettivi singolari di 2° ordine sono armonici se hanno 

 un elemento apolare comune, e viceversa. 



Un aggruppamento projettivo singolare di 2° ordine è armonico rispetto a sè 

 stesso, e viceversa. 



79. — Un aggruppamento Ap^ o è armonico rispetto a tutti quelli di un 

 dato fascio Si 2 , è armonico rispetto ad tino, e ad uno solo, di essi. 



Supponiamo che Apj non sia singolare e che quindi non sia singolare una 

 delle projettività coordinate ad esso e ad un aggruppamento A'p, di Sj ,. SeAiA^, 

 Bi J?j , sono due gruppi di Ap, e se A\ , B\ sono i poli di A^ , rispetto ad uno 

 stesso aggruppamento A!i)., di S, j , , sono i poli di Ai,B^ rispetto alla projet- 

 tività IT coordinata ad A.pi,X.'pi \ ma. A!^,B\ si corrispondono proj etti vam ente quando 

 A'pj varia nel fascio Si 2 , dunque tutte le projettività coordinate ad Apj ed a ciascuno 

 degli aggruppamenti di Si 2 costituiscono un fascio. Ne segue che esse o sono tutte 

 involuzioni, ovvero una di esse, ed una sola, è una involuzione (44); dunque tutti 

 gli aggruppamenti di S, , sono armonici rispetto ad A^, , ovvero uno di essi, ed uno 

 solo, è armonico rispetto ad Aj), • 



Se A^j è singolare e se i suoi elementi apolari sono 0^, 0^, il gruppo 0^ 0^ 

 è base di Si», ed allora tutti i suoi aggruppamenti sono armonici rispetto ad k.pt, 

 ovvero un aggruppamento di Si , , ed uno solo, contiene il gruppo 0, 0, ed è perciò 

 armonico rispetto ad kp^ (78). 



Tutti gli aggruppamenti di un fascio Si^, sono armonici rispetto ad un dato 

 Api , se due di essi sono armonici ad Ap^ . 



Tutti gli aggruppamenti di una rete 82,2 sono armonici rispetto ad un dato 

 Api , se tre di essi, non appartenenti ad uno stesso fascio, sono armonici rispetto 

 ad Api . 



Se gli aggruppamenti A^p.,, A'pj, A^pa. che individuano la rete Sj^j » sono armonici 

 rispetto ad Ajìì, sono armonici rispetto ad Ajjg tutti quelli del fascio S'1^2 iiicli^'iduato 

 da A^Pi, A'j^j; ma la S, 2 si può individuare con A^Pi e S\^2 ed allora ogni suo 

 fascio generatore, contenendo A'^2 ed un elemento di S\,2 contiene due aggruppamenti 

 armonici rispetto ad Ap, , dunque tutti gli aggruppamenti dei fasci generatori, e quindi 

 tutti quelli della Sj 2 sono armonici rispetto ad Ap^. 



80. Tutti gli aggruppamenti A'pi armonici rispetto ad un dato Api costitui- 

 scono una rete. 



Possiamo immaginare il sistema Sj 2 -, di tutti i possibili aggruppamenti projettivi 

 di 2° ordine, individuato da quattro suoi elementi A^p^ , A^p^ , A^jh 1 e possiamo 

 supporre che A'^'j sia distinto da Ap^ e non sia armonico rispetto ad esso. Allora 



