DI RICCARDO DE PAOLIS 



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iu ciascuno dei fasci individuati da A^Pì insieme ad A^pj, A'j)^, A.^Pi esiste un aggrup- 

 pamento armonico rispetto ad Aps, ed uno solo (79). I tre aggruppamenti così ottenuti 

 devono individuare una rete S'2,2 i cui aggruppamenti sono tutti armonici rispetto ad 



(79), e la quale non contiene perciò A^p^ . Siccome poi ogni A'^^^t-A^j insieme 

 ad A}})i deve individuare un fascio che deve contenere il solo aggruppamento X'p^ 

 armonico rispetto ad Ap^, Àìp, deve essere necessariamente comune al suddetto fascio 

 ed alla rete S'j ^ (7). Si vede così che tutti gli aggruppamenti projettivi di 2° ordine 

 armonici rispetto ad X^h sono quelli della rete S'j 2 , ed essi soli. 



Una involuzione projettiva di 2° ordine è armonica rispetto alla identità , e 

 viceversa un aggruppamento projettivo di 2" ordine armonico rispetto alla identità è 

 una involuzione. Ne segue che: 



Tutte le possibili involuzioni proiettive di 2° ordine costituiscono una rete. 



Tutti gli aggruppamenti A'p^ armonici rispetto a due dati A^i^^ , A^p^ costi- 

 tuiscono un fascio, 



quello comune alle due reti (7) costituite dagli AJp^ che sono armonici ad A^p^, A^p^. 



Esiste sempre un aggruppamento A'p^ , ed uno solo, armonico rispetto a tre 

 dati A^Pi , A'p)i , -^^Pì ? 'iion appartenenti ad uno stesso fascio, 

 quello comune (7) alle tre reti costituite dagli A'^^ che sono armonici rispetto ad 

 A'jps, A-pi, A^^2. 



81. — Tutti gli aggruppamenti di una rete 82^2 sono armonici rispetto ad 

 uno stesso Ap2 , 



che è quello armonico rispetto a tre aggruppamenti della rete, capaci di indivi- 

 duarla (80). 



Tutti gli aggruppamenti di un fascio j sono armonici rispetto a tutti quelli 

 di un altro fascio S'i 2 , 



che è quello costituito da tutti gli aggruppamenti projettivi di 2° ordine che sono 

 armonici rispetto a due del fascio dato (80). 



82. — Kiassumendo i risultati precedenti, possiamo dire che ogni sistema S,,2 

 ne individua un altro S,/^2 essendo v + v'=2, in modo che tutti gli aggruppamenti 

 di ciascuno di essi sono armonici rispetto a tutti quelli dell'altro. Due tali sistemi 

 Sv, ì > S^/ 2 li diremo armonici ed indicheremo questa loro relazione con il simbolo 

 Sv,2>S,/_2, ovvero anche S,/^2'>Sv,2- 



83. — Gli aggruppamenti armonici che appartengono ciascuno ad uno di 

 due dati fasci 8,^2, S'j 2 si corrispondono projettivamente. 



Se Sj^2>S'i,2 (82) evidentemente tra gli aggruppamenti armonici, uno di 8, 2 e 

 l'altro di 8',_o , si ha una corrispondenza projettiva indeterminata. Se un aggruppa- 

 mento Aj)., di j è armonico rispetto a tutti quelli di 8',^, , preso un altro aggrup- 

 pamento di Si 2 , un aggruppamento A'p^ di S'1^2 è armonico rispetto ad esso , ed essendo 

 per ipotesi armonico anche rispetto ad Ap^, è armonico rispetto a tutti gli aggruppa- 

 menti di 81 2 • Posto ciò è chiaro che tra gli aggruppamenti armonici, uno di 8, 2 e 

 l'altro di 8', 2, si ha una corrispondenza projettiva singolare. 



