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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



Supponiamo ora che nessun aggruppamento di uno dei due fasci sia armonico 

 rispetto a tutti quelli dell'altro. In questo caso il teorema si dimostra immediatamente 

 se uno S', s <1ei due fasci è singolare. Infatti se Oi è l' elemento apolare comune a 

 tutti gli aggruppamenti di S', j e se è il suo polo rispetto ad un aggruppamento 



di S,,s, l'aggruppamento X'p^ di S', s armonico rispetto ad Ap^, è quello singolare 

 clie ha Oi , A, per elementi apolnri. Siccome poi Xp, , A'jn corrispondono projettiva- 

 mente ad , si corrispondono projettivamente fra loro. 



Supponiamo che nessuno dei due fasci sia singolare e prendiamo un fascio sin- 

 golare S"i s, che non abbia un aggruppamento comune con S',_, e sia tale che l'ele- 

 mento Oi, apolare rispetto a tutti i suoi aggruppamenti, non sia elemento di un 

 gruppo base di Si,i. Allora evidentemente anche Si_s , S",_s non hanno un aggruppa- 

 mento comune e nessun aggruppamento di S", j può essere armonico rispetto a tutti 

 quelli di Si ^; percui se S'", j>S,s, i fasci S",^j, S'", ^ non hanno un aggruppamento 

 comune. Se Ajpj è un aggruppamento di S, 2 , la rete Sj 4>Aj)j (82) contiene S'", , 

 ed ha comuni con S'i j , S"i j rispettivamente un aggruppamento A'p, , A"pi . Ora 

 Xpi ■> A"jj, , quindi sappiamo che Ap^ , A"j;j si corrispondono projettivamente ; ma si 

 corrispondono projettivamente anche A'p^ , A"^;, , perchè A"2>j si deduce da A'jh pro- 

 jettandolo da S"'j , e segando con S'j , (76); dunque si corrispondono projettivamente 

 Ajjj , A'pi ed il teorema è così dimostrato in tutti i casi possibili. 



84. — Supponiamo che sia possibile trovare coppie di aggruppamenti Ap„_t , 

 A'p)„—ì, di un dato ordine n — 2, che chiameremo aggruppamenti progettivi armonici, 

 i quali siano legati da una particolare relazione in modo che un Ajp„_j sia armonico 

 rispetto a quelli di un fascio Sj „_ì , sia armonico rispetto ad uno di essi , e ad 

 uno solo, ed in modo che si corrispondano projettivamente gli aggruppamenti armonici 

 che appartengono ciascuno ad uno di due dati fasci S, „_j, S', Allora presi due 

 aggruppamenti Aj9„_i , A'j)„_i gli aggruppamenti armonici che rispetto ad essi sono 

 polari di due elementi della i^/ si corrispondono projettivamente e perciò i loro poli 

 si corrispondono sulla Fi in una projettività fi'. Si hanno cosi n—\ projettività 11' 

 che diremo coordinate ad Ap„_i , A'p„_i . 



Adesso supponiamo che la relazione la quale lega due aggruppamenti projettivi 

 armonici di ordine « — 2 sia tale, che se una delle n — 1 projettività H' e una 

 involuzione, è indeterminata, anche ciascuna delle altre o sia una involuzione, sia 

 indeterminata. Quando ciò si verifica, una relazione lega ugualmente Ap„_y, A!p„_y, e 

 possiamo dire che essi sono allora armonici. Per indicare che Ap„_j , A!p„_^ sono 

 armonici, useremo il simbolo Aj?„_i > A'p„_i , ovvero anche A!p,^^^ Ap„_^. 



Le condizioni che abbiamo supposto siano soddisfatte da due aggruppamenti pro- 

 jettivi armonici di ordine n— 2, sono tutte verificate dagli aggruppamenti projettivi 

 di P ordine, se due di essi li diciamo armonici quando coincidono; ed allora si vede 

 «ubito che la definizione di aggruppamenti pi'ojettivi armonici di ordine n — 1, posto 

 w = 3 , ricade in quella già data per gli aggruppamenti projettivi armonici di 2* 

 ordine (77). 



