DI RICCARDO DE PAOLIS b4S 



85. Supponiamo adesso che per gli aggruppamenti projettivi del dato ordine 

 n — 1 siano vere le seguenti proprietà, già dimostrate nel caso di » = 3 : 



1°. Se due aggruppamenti Aj)„_i , A'^„_i sono armonici e se uno di essi è 

 singolare, i suoi elementi apolari devono costituire un gruppo dell'altro, e viceversa (78). 



2°, Un aggruppamento Ap„_i o è armonico rispetto a tutti quelli di un fascio 

 Si „_i , è armonico rispetto ad uno di essi (79). 



3". Gli aggruppamenti armonici che appartengono ciascuno ad uno di due 

 dati fasci „ , S',^ si corrispondono projettivamente (83). 



86. — Dati due aggruppamenti Ap„,A'p„ gli aggruppamenti armonici che rispetto 

 ad essi sono polari di due elementi della JP,' si corrispondono projettivamente (85, 3'') 

 e perciò i loro poli si corrispondono sulla i'V in una projettività. Si hanno così n 

 projettività II' che diremo coordinate ad Ap„ , A'p„ . 



Se una delle n projettività coordinate a due dati aggruppamenti Ap„, A'p„ o 

 è una involuzione, o è indeterminata, anche ciascuna delle altre o è una involuzione, 

 è indeterminata. 



Una projettività FI' coordinata ad Ap„, A'p„ sia una involuzione, ovvero sia 

 indeterminata. Allora due elementi Ai , A'^ se si corrispondono nella fi' si corrispon- 

 dono in doppio modo, per cui si ha: A2)„li > A'j?,,!! , Aj9„ii > A'j9„i, . Se un'altra 

 projettività II*, di quelle coordinate ad Ap^ , }ilp„ , non è indeterminata , preso un 



elemento qualunque A^ e l'aggruppamento ApJ'_^ , tra tutti gli aggruppamenti polari 

 degli elementi della Fi* rispetto ad A'j),, ve ne è uno A'p^_li armonico rispetto ad Ap^i,, 

 ed uno solo. Gli elementi A,,, A!^ si corrispondono nella II*. 



A ■ A • 



Preso l'aggruppamento Ap,'_.^, o tutti gli aggruppamenti polari degli elementi 



A^ A A 



della 2^i' rispetto ad ^p^^Ly sono armonici rispetto ad A|)„i/, o uno solo di essi è 



A. A 



armonico rispetto ad Aj)„l/; in ogni modo potremo trovare sempre un aggruppamento 



A* . A' A- A t A A' 



^Pn-t ' >Aj} ed A!ì corrisponderà ad Ai nella II'. Avendo ApJ^^ > A'j)„^i ed essendo 



A A* 



armonici gli aggruppamenti polari di ^, , J.', rispetto ad Ap„*,, A'p^j^i , dovranno essere 



A' A 



pure armonici quelli polari di A^, A'^ rispetto ad A^p„^^, A|)„^i; dovremo cioè avere 



A .A* A' . A 



A'i'nll/ > A|)„J.i*. Avendo supposto che la D' o sia una involuzione o sia indeterminata, 



A. A*. A^ . A' 



abbiamo detto che deve sempre essere Ap„ii > A'j>„J.i , Ap„Ji> A'p„li . Affinchè sia 



.A. I A'. A. A. . A'. A' , A'. A, . A. A'. , „ 



Ai>„_i > Aj)„_i , avendo Ap„_^-:>A'p„_lì -, deve pure essere A'jj„J.o > A2)„'_-2 , ed af- 

 tinche sia Aj9„_i :> A'j)„li , avendo A2;„l2 >Aj)„i.j , deve pure essere Ap„!_^ i>Alp„l_.^ . 

 Dalle due ultime relazioni che abbiamo trovato si deduce che gli aggruppamenti polari 



A' A 



di Ai rispetto ad Ap„^i A'pn^i sono armonici rispetto a quelli polari di rispetto 



» A A' A' A A A* 



ad A^„*i, A2)„_!i, quindi è Ap^^^'> Mp,^''_\'.. ma avevamo Aj?)„^i > A'jp,,^! , dunque A^, A'^ 

 si corrispondono in doppio modo nella EL* e quindi la 11* o è una involuzione o è 

 indeterminata. 



Quando una delle projettività coordinate a due dati aggruppamenti Ap„, A'p„, 

 e quindi ciascuna delle altre n — 1, o è una involuzione o è indeterminata, una rela- 



