544 LE CORRISPOKDENZE PROJETTIVE 



zione lega ugualmente gli aggruppamenti Ap,, , A'p„ che allora diremo armonici; per 

 indicare che ha luogo questa relazione useremo il simbolo Ap„>A'j)„, ovvero anche 



87. — Se due aggruppamenti Ap„, X'p^ sono armonici e se tino di essi è 

 singolare, i suoi elementi apolari devono costituire tm gruppo dell'altro, e viceversa 

 (85, 1°). 



Supponiamo che Ap„ sia singolare, che i suoi elementi apolari siano Oi,0, 0„ 



e che O'i sia il polo di Oj...O„ rispetto ad A'jp„. L'aggruppamento A^?^!, , comunque 

 si scelga l'elemento Ai, e sempre quello singolare che ha 0^, ...,0„ per elementi 



apolari, ed è quindi armonico rispetto all'aggruppamento A'p„_i,, perchè esso contiene 

 il gruppo Oj...O„(85, P). Si vede perciò che nella projettività 11* coordinata ad 

 Ap„, A'p„ un elemento qualunque Ai ha sempre per corrispondente 0\; per cui la III 

 è singolare ed ha O'i per elemento apolare ; l'altro suo elemento apolare è e^^dente- 

 mente Oi. Se Aj7„>A'2)„ la 11* deve essere o una involuzione o indeterminata, quindi 

 il gruppo Oj . . . 0„ non è apolare rispetto ad A'p„ ed 0\ coincide con Oj , ovvero 

 esso è apolare rispetto ad A'p^ . In ciascuno di questi casi Oj . . . 0„ deve essere 

 un gruppo di A'p,^. Inversamente se OiO, ...0„ è un gruppo di A'j)„, o il gruppo di 

 Oj . . . 0„ non è apolare rispetto ad A'p^ , ed allora la 11* ò una involuzione singolare 

 che ha 0^ per elemento apolare, ovvero 0^. ..0„ è apolare rispetto ad A'p^ , ed allora 

 la n* è indeterminata. In ciascuno di questi due casi è Ap„ > X'p„ . 

 Dal teorema ora dimostrato discende che : 



Due aggruppamenti projettivi singolari, di ordine n, sono armonici se hanno 

 un elemento apolare comune, e viceversa. 



Un aggruppamento projettivo singolare, di ordine n, è armonico rispetto a sè 

 stesso (78). 



88. — Un aggruppamento Ap^ o è armonico rispetto a tutti quelli di un 

 fascio Sj „, è armonico rispetto ad uno solo di essi (85, 2°). 



Se tutti gli elementi di una forma rispetto ad Ap„ hanno uno stesso aggrup- 

 pamento polare -Aj3„_i, Ap^^ è riducibile e si divide nella parte Ap^^_^ ed in un aggrup- 

 pamento projettivo di 1° ordine. Se questo fatto si verificasse per ciascuna delle n forme 

 che contengono Ajj„, questo aggruppamento sarebbe singolare; per cui, escludendo per 



ora questo caso, possiamo ritenere che gli aggruppamenti polari Ap'^l_i costituiscano 

 un fascio S', „_i . 



Se la projettività W, coordinata ad Ap^^ e ad un aggruppamento A!p^ , del fascio 

 S, „, è indeterminata, Ap^-p- A!p^ e non può essere A^;,^ armonico ad un altro aggrup- 

 pamento Al'p^ di S, „ senza esserlo rispetto a tutti. Infatti sia anche A"^)„ ■> Ap^ e 

 la projettività II*, coordinata ad Ap^, A"p^, sia anche indeterminata. Preso un qua- 

 lunque elemento J,, gli aggruppamenti -A-'^^^l, , A"p^]_^ devono essere armonici rispetto 



a tutti quelli del fascio S*, , quindi tutti gli aggruppamenti del fascio S^,'_, devono 

 essere armonici rispetto a tutti quelli di S*j , tutte le projettività coordinate ad 

 Ap^ ed agli aggruppamenti di S, „ devono essere indeterminate, e perciò tutti questi 



