DI RICCARDO DE PAOLIS 



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aggruppamenti devono essere armonici rispetto ad Aj)^ . Supponiamo clie la II' * sia 

 una involuzione. Allora se ^p!,li'>^"pt-i ^e^^ essere ^pt-i'> \ n^a J^ptl t'> 

 e À.pt-i > ^'pt—i , essendo indeterminata la II*, dunque A^j^^j deve essere armonico 

 rispetto a tutti gli aggruppamenti di S,_;l_i ed ^p„li deve essere armonico rispetto a 

 tutti gli aggruppamenti di Si^'„_i . Ora se prendiamo nel fascio S,_„ un altro aggrup- 

 pamento A."'p„ si ha A2;^li > ^"'ptl\ > -^pl-i "> ^"'2\-i ^ dunque la projettività coordinata 

 ad Aj)^ , A'''j9„ sulla i^i* deve essere una involuzione, corrispondendosi in essa in doppio 

 modo gli elementi Ai , A\, e perciò deve essere Ap„ t> A"'p„ . 



Supponiamo adesso che non si possa trovare nel fascio S, „ un aggruppamento A'p„ 

 tale che la projettività II', coordinata ad Ap„, À'p^, sia indeterminata. Se A\, B\ sono 

 due qualunque elementi fissati sulla F^^, e se Ap^lj > A'jj^_|i, A.pll_^'ì>A!pl^^, ad A\,B\ 

 nella II* corrispondono rispettivamente Ai, By. Ora quando A!p„ varia nel fascio S, „, 



all'aggruppamento A'j)^_l,t del fascio S,_^i corrisponde projettivamente l'aggruppamento 



li' B' A' & 



■^'Pnli dsl fascio S, ad A'jj^Jj e A'^^J^^ corrispondono projettivamente e rispetti- 

 vamente ■Ap^^^, ^Pn-i 1161 fascio S*i_„_i (85, 3°); dunque ad A^^^^j corrisponde pro- 

 jettivamente Aj)^li , e perciò ad A^ corrisponde projettivamente Bi . Ne segue imme- 

 diatamente che quando A'p„ genera il fascio Si „, la projettività II* genera un fascio, 

 quindi o tutte le II* sono involuzioni o una sola di esse è una involuzione ; per cui o 

 tutti gli aggruppamenti di S,_„ sono armonici rispetto ad Ap„ , o uno solo di essi è 

 armonico rispetto ad Aj)„. 



Ci rimane da considerare il caso in cui À.p„ sia singolare. Allora se il gruppo 

 dei suoi elementi apolari è base del fascio Si „ tutti gli aggruppamenti di questo fascio 

 sono armonici rispetto ad A.p„, se non è base di Si „ un suo aggruppamento, ed uno 

 solo, lo contiene e quindi un aggruppamento di Si_„, ed uno solo, è armonico lispetto 

 ad Ap„ (87). 



Dal teorema precedente discende subito che: 



Tutti gli aggruppamenti di un fascio Si^„ sono armonici ad un dato aggrup- 

 pamento Ap„, se due di essi sono armonici ad Ap„. 



89. — Se v + l aggruppamenti che individuano un sistema S, „ sono armonici 

 ad uno stesso aggruppamento Ap„, ogni aggruppamento di „ è armonico ad Ap„. 



Abbiamo ora dimostrato questo teorema per un fascio, cioè nel caso in cui sia 

 v=l (88); esso resterà dunque dimostrato in generale, se lo dimostreremo per un 

 sistema S,^ „ supponendolo dimostrato per un sistema S,_i_„. 



Sia Mp„ uno qualunque dei v + l aggruppamenti che individuano 8^,^, e sia 

 S,_i,„ il sistema individuato dai rimanenti v. Essendo ciascuno di essi armonico ad 

 Ap„, ogni aggruppamento di S,_, „, per l'ipotesi fatta, è armonico ad Ap„. Ora se 

 individuiamo S^ „ con A'p„ e con S^_, ogni fascio generatore contiene due aggrup- 

 pamenti armonici ad Xp„, A'p,, e l'aggruppamento che ha comune con S^_, „, quindi 

 tutti gli aggruppamenti di ciascun fascio generatore, cioè tutti gli aggruppamenti di 

 S,„, sono armonici rispetto ad A^j,,. 



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