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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



90. — Se v+l aggruppamenti individuano un sistema S,,„, tutti gli aggrup- 

 pamenti progettivi, di ordine n, che sono armonici rispetto a ciascuno di essi, e 

 quindi a ciascun aggruppamento di „ (89) , costituiscono un sistema S,, „ , se 

 v'=A\(h) - V— 1^0. 



Cerchiamo prima di tutto gli aggruppamenti progettivi di ordine n che sono ar- 

 monici ad un dato Ajp„ . Possiamo immaginare che il sistema di tutti i possibili 



aggruppamenti projettivi di ordine n sia individuato da A'p,,*, A'p^*, . . . , A'p,,^'^"^'*"' e 

 possiamo supporre che A'p*„ sia distinto da ^p„ e non sia armonico ad Ap„. Allora 

 in ciascuno dei fasci individuati da ^p^„ insieme a ciascuno degli aggruppamenti 

 Àlp X'pf^^"^^^ esiste un aggruppamento armonico ad A.p^, ad uno solo (88), e 



si ottengono così ^i(n) aggruppamenti che individuano un sistema S;v'^(„)_, „ ciascun 



aggruppamento del quale è armonico ad Ap^ (89). Siccome poi ogni A'p,, armonico 

 ad À.p„ insieme ad A'j)'„ individua un fascio che contiene il solo aggruppamento A'p„ 

 armonico ad Ap„ , deve essere Al'p^ l'aggruppamento comune al detto fascio ed a („j_, „. 



Si vede così che gli aggruppamenti projettivi di ordine n armonici ad Ap„ sono quelli 

 tli "^iVjC/i)-!,» 1 6<i 6ssi soli. 



Se sono dati Aj;^', Ap capaci di individuare un sistema „ , gli aggrup- 

 pamenti projettivi di ordine n armonici ad A'j)„ costituiscono un sistema S'y^ „ . 



Ora di questi sistemi ne abbiamo v + l ed è chiaro che, se v' = -?f,(n) — v — l^o , 

 essi hanno comune un sistema S,/ „ (7) costituito da tutti gli aggi'uppamenti projettivi 

 di ordine n che sono armonici a ciascuno dei v + 1 dati e quindi a ciascun aggrup- 

 pamento di S, „. 



Se y<.Ni{n) ogni sistema S, „ ne individua un altro S^/,„, essendo v + >'=-^i(w) — 1, 

 in modo che tutti gli aggruppamenti di ciascuno dei due sistemi sono armonici rispetto 

 a tutti quelli dell'altro. Due tali sistemi S, „ , 8,^, „ li diremo amowzci ed indichei'emo 

 questa loro relazione con il simbolo S.^,„>S.., „, ovvero anche S^',„>S,,,, (82). 



91. — Gii aggruppamenti armonici che appartengono ciascuno ad uno di 

 due dati fasci „ , S', ,, si corrispondono projettiv amente (85, 3**). 



La dimostrazione di questo teorema non differisce da quella data per i fasci di 

 aggruppamenti projettivi di 2° ordine (83). 



92. — Giunti a questo punto, resta ben definito che cosa intendiamo per ag- 

 gruppamenti projettivi armonici di un dato ordine qualunque n e per essi restano 

 dimostrate le proprietà che già supponemmo competere agli aggruppamenti projettivi 

 armonici di ordine n — 1 (85), insieme a quelle da esse dedotte. 



93. — Se due aggruppamenti projettivi di 3° ordine coincidono con uno stesso 

 Ap3 , se S', j è il fascio degli aggruppamenti polari rispetto ad À.p^ degli elementi 

 della 1^1*, l'elemento -4'i, corrispondente ad un elemento Ai nella projettività coor- 

 dinata n*, è il polo di quest'aggruppamento Ajj/ ' di S\ , che è armonico ad Aj;/*. 

 Evidentemente nella II* gli elementi -4, , A!^ si corrispondono in doppio modo, dunque 



