DI RICCARDO DE PAOLIS 



547 



la n* è una involuzione, o è indeterminata se ' è armonico rispetto a tutti gli 

 aggruppamenti di S', , , cioè se questo fascio è singolare. In ogni caso Ap^ è armo- 

 nico a se stesso. 



Se due aggruppamenti progettivi di 4" ordine coincidono con uno stesso A^j^, 

 se S\,3 è il fascio degli aggruppamenti polari rispetto ad Ap^ degli elementi della 



l'aggruppamento A.p^ \ polare di un elemento qualunque Ai, è armonico a sè stesso 

 ed in generale nel fascio S*, , non vi sono altri aggruppamenti armonici rispetto ad 

 Ajjj'''; dunque in generale la 0' è la identità ed Ap^ non è armonico rispetto a sè 



stesso. So però Ap^^^ fosse armonico ad un altro aggruppamento di S*, 3 , ciascun 

 aggruppamento di questo fascio sarebbe armonico rispetto a tutti gli altri, la n* sarebbe 

 indeterminata ed A.p^ in questo caso, e solamente in questo caso, sarebbe armonico 

 a sè stesso. 



Proseguendo a ragionare cosi, arriviamo a concludere che: 

 Un aggruppamento projettivo di ordine dispari è sempre armonico rispetto 

 a sè stesso. 



Per ottenere un aggruppamento projettivo di ordine pari n che sia armonico a 

 sè stesso, basta prendere sulle i^f , . . . , F" due aggruppamenti armonici ■A'p^_^ , A"p„_„ 

 fare corrispondere il loro fascio S\ „_, projettivamente alla JPi* e considerare l'aggrup- 

 pamento Ap^ che così nasce. 



94. — Abbiamo dimostrato che tutti gli A'p^ armonici a un dato Ap^ costi- 

 tuiscono un sistema S'^^(„)_i „ , e viceversa (90). Se un A'p^ di S'y^r^(,j_, „ è singolare, 



i suoi n elementi apolari costituiscono un gruppo di A^"; ed inversamente ogni aggrup- 

 pamento singolare A'p„ i cui n elementi apolari costituiscono un gruppo di Ajp„ appar- 

 tiene ad S' („)_, „. 



In un sistema Sy^(„)_i „ vi sono infiniti aggruppamenti singolari ed i gruppi 



dei loro elementi apolari costituiscono V aggruppamento Ap^ > S^^(„)_i „ . 



Gli elementi di un dato Ap^ sono gruppi di elementi apolari per infiniti 

 aggruppamenti singolari di ordine n,'Ni{a) dei quali, comunque scelti, individuano 

 il sistema \^„y.l,„> Ap„ . 



Scegliendo iV, («) elementi G„ di un aggruppamento in modo che siano capaci 

 di individuarlo, abbiamo Ni{n) aggruppamenti singolari A'p„ i cui gruppi di elementi 

 apolari sono quelli Cr„ scelti. Un sistema S'^^(„)_j „ che contenga gli A'^)^ deve essere 



armonico ad Ap^ e quindi deve essere individuato dagli A'p^. 

 Possiamo dire che: 



Due aggruppamenti A^?,,, A'p^ sono armonici, se uno di essi appartiene al 

 sistema fondamentale individuato da Ni(n) aggruppamenti projettivi singolari di 

 ordine n, i cui elementi apolari costituiscono N'i(n) gruppi che individuano V altro. 



95. — La corrispondenza biunivoca che si stabilisce facendo corrispondere in 

 un sistema S, „ a ciascun suo elemento Ap^ il sistema ^^-\^„>Ap^ è una projettività 

 reciproca involutoria (16) (91). 



