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LE CORRISPONDENZE PROJBTTIYE 



IX. 



Generalizzazione della definizione e delle proprietà 

 degli aggruppamenti projettivi polari, 

 nelle forme geometriche fondamentali di l'* specie. 



96. — Se sopra h delle forme Fi che contengono un dato Aj)„ prendiamo un 

 , tutti gli ^Pn-k ) situati sulle rimanenti n — li forme i^i', che insieme ad A^j^ 



dànno un ^Pn^^Pn^ costituiscono un sistema (75). Se A2)„_^> S'y 



il dato Ap^ individua l'aggruppamento ^p„^k, che diremo polare di \p^ rispetto 

 ad kp,^. 



Se kp^ è singolare, se G^j è il gruppo dei suoi elementi apolari e se k.p^_^ è 

 l'aggruppamento polare di Ap^ rispetto ad Ap„, un aggruppamento singolare k.'p^_^ 

 il cui gruppo G„_* degli elementi apolari appartiene ad k.p^_^ è armonico ad esso • 

 quindi kp,^, k.p^_^ costituiscono insieme un aggruppamento singolare A'j)„> A p„ , il cui 

 gruppo G„^ degli elementi apolari è perciò un elemento di Ap^ . Ne segue che 

 l'aggruppamento polare di un dato gruppo G^t rispetto ad un dato kp^ è l' aggrup- 

 pamento polare rispetto ad Aj^,, dell'aggruppamento singolare kp^ i cui elementi apolari 

 sono quelli di (ji^. 



Dalla definizione stessa di aggruppamento polare discende immediatamente che: 

 Se due aggruppamenti projettivi costituiscono insieme un k.'p„-3>Ap^, cia- 

 scuno di essi è armonico air aggruppamento polare delV(iltro rispetto ad Ap„ . 



L'aggruppamento Xp„^ polare di un Ap^ rispetto ad un dato Ap^ è costituito da 

 tutti i gruppi G„_4 i cui aggruppamenti polari rispetto ad Ap^ sono armonici ad Ap^. 



97. — Consideriamo due aggruppamenti A^,,, Ap^ e supponiamo che Ap^ sia 

 riducibile e si divida nelle due parti Ap^^ , Ap^ . Siano poi Ap^^_^ , Ap„_^^ rispettiva- 

 mente gli aggruppamenti polari di Ap^^ Ap^^ rispetto ad Ap„. Tutti gli A!p^_^ che 

 insieme ad Ajp;^, ossia ad Ap^^, ■^i'*^' ^^'^^ armonici ad A^)^, sono armonici ad Ap^_^. 

 Ciascun A'p^_^ insieme ad Ap^^ costituisce un A'p„^^ che, essendo insieme ad Ap^^ 

 armonico ad A^)^ , è armonico rispetto airA^„_^^ polare di Ap^^. Essendo ciascun 

 ■^'Pn-k insieme ad Ap/.^ armonico rispetto ad A2)„_^^ ciascun A'2)„_n è armonico all'ag- 

 gruppamento polare di Ap^^ rispetto ad kp^^^ , dunque questo aggruppamento polare 

 è Ap^_^ . Abbiamo cosi veduto che l'aggruppamento polare di Ap^ rispetto ad A^^ 

 si può ottenere prendendo prima l'aggruppamento polare di una delle sue parti 

 Ap^^, Ap^^ e poi rispetto ad esso l'aggruppamento polare dell'altra. Se ne deduce subita 



il seguente teorema più generale: 



