DI RICCARDO DK PAOLIS 54^ 



Se un aggruppamento Ap^ è riducibile, il suo aggruppamento polare rispetto 

 ad un dato Ap„ si ì^uò ottenere prendendo raggruppamento polare di una delle 

 sue parti, poi rispetto ad esso V aggruppamento polare di un'altra, e così di seguito, 

 in un ordine qualunque, purché ciascuna parte sia adoperata una volta^ ed una sola. 



98. — Se v^Ni(n — k), gli aggruppamenti polari di uno stesso Apf rispetto 

 a quelli di un dato sistema S,_„ costituiscono un sistema 8,^„_a e corrispondono 

 ad essi projettiv amente. 



Siano A'^„_i, A"2)„_i gli aggruppamenti polari di Ap^ rispetto a due aggruppa- 

 menti A'p^, A"p^ di un fascio Sj „ . Se G„_^•>A'2■>„_^ e (x„_;f > A"p„_^ sappiamo che 



A'p^"~^>Apf,A"p^^"-*-P'Ap^] ora l'aggruppamento Ap^^"-'', polare di G„_i rispetto 

 ad un qualunque aggi'uppamento Ap^ di Si „, appartiene al fascio individuato da 

 A'p^^"~\ A!'pI^"-'', quindi Ap^"-'' > A^^ e perciò G„_;t > Ap^_^ , essendo Ap^_^ V ag- 

 gruppamento polare di Aj)^ rispetto ad Ap^. Se è un qualunque gruppo i cui 

 elementi appartengono ciascuno ad una delle n — k forme Fi che non contengono 



elementi di A^^, nel fascio esiste un aggruppamento armonico ad Ap^, il quale 



è polare di G'„_* rispetto ad un Ap^ di Si „ ed è chiaro che l'aggruppamento polare 

 di Ap^ rispetto ad Ap^ contiene (j'„-/,. È così dimostrato che gli aggruppamenti Ap,,_^, 

 polari di Ap^ rispetto agli elementi Ap„ di Si^„, costituiscono un fascio. 



Tutti gli A'p„_n > Ap„_i costituiscono un sistema („_;t)_i che corrisponde 



projettivamente ad Ap„_,, in un fascio 2i_„_^ . Gli elementi di ciascun sistema 

 insieme ad Ap^ dànno gli elementi di un sistema S7v^(„_^)_i „ che in un fascio 2^ „ 

 corrisponde projettivamente a S^^(„_<)_i_„_;t e quindi ad Ap„_^ . Ora sappiamo che 

 ^!f^[n-i:)-ì,n>Ap„ 6 qulndì che si corrispondono projettivamente A25„ e S^v^(„_^)_i „ , dunque 



si corrispondono projettivamente anche Ap„ ed Ap„_ii. 



Avendo dimostrato il teorema per un fascio S,_„, si vede subito che esso è vero 

 anche per un sistema S^_„ , se v ^ iVi (« — Jc) . 



Diremo che il sistema S, „_;i, costituito dagli aggruppamenti polari di Ap^, è 

 il sistema polare di Ap^ rispetto a S, „. 



Supponiamo adesso che sia v;>iVi(n — ^). Allora preso un qualunque Ap„_i, 

 sulle n — k forme Fi che non contengono Ap^, il sistema S'yv^(„_ì)_i^„_ì> Ajp„_jf 



insieme ad Ap/, costituisce un sistema S'yvrj„_;f)_i^„, al sistema S^_„ appartiene un sistema 

 S,_,Yj„_*),„ > S'jY|(„_/!)_i,„ ed evidentemente Ap„_^ è polare di Ap^ rispetto a tutti gli 

 aggruppamenti di S'^^^(„_i^ „ ed a nessun altro di S, „. 



Se v>Ni(n — k) un qualunque Ap„_^, situato sulle n — k forme Fi" che non 

 contengono un dato Ap^, è polare di Ap^ rispetto a tutti gli aggruppamenti di 

 un sistema S^_Jf^^„_^^„ che appartiene ad un dato sistema S^_„, ed a nessun altro 

 aggruppamento di S^„. 



99. — Se v^Ni(n — k) gli aggruppamenti polari di tutti quelli di un sistema 

 Sv,*i rispetto ad un dato Ap„ costituiscono un sistema S,„_a e corrispondono ad 

 essi projettivamente. 



