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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



Se A'^„_i, A"/)„_A rispetto ad uu dato Ai)„ sono gli aggruppamenti polari degli 

 elementi X'p^, A"p^ di un fascio S, », e se G„_i>A'p„_i, G„_t> A"p„_^, sappiamo clie 



Ai?A*^"~*> A'p, , Ap,''"-*>A"jj,. per cui Ap^i*'— * > S, , e appartiene a tutti gli 



aggruppamenti polari di un elemento di 8, rispetto ad Ap„ . Se G^„_t è un qualunque 

 gruppo i cui elementi appartengono ciascuno ad una delle n — Jc forme F^' che non conten- 



gono 8,ji , un aggruppamento A^)* di 8,,* è armonico ad Aj), "~*, quindi l'aggruppamento 

 Ap„_k polare di Ap^ rispetto ad A^j,, contiene G'„ . , . E così dimostrato che gli aggrup- 

 pamenti Ap„_^ polari rispetto ad Ap„ degli elementi Ap^ di 8, » costituiscono un fascio. 

 Se tutti gli elementi di G'„_i rimangono fissi eccetto uno A^, Ap„_^ ed si corri- 

 spondono projettivamente ; ma ad A^ coiTisponde projettivamente Ap^ , dunque Apn ed 

 Aj)„_t si coiTispondono projettivamente. 



Avendo dimostrato il teorema per un fascio 8, ^ , si vede subito che esso è vero 

 anche per un sistema 8,ji, se v^2S^i(n — A). 



Il sistema 8^ costituito dagli aggruppamenti polari di quelli di 8, ^ rispetto 

 ad Ap„, lo diremo polare di 8^,* rispetto ad Ap„. 



Supponiamo adesso che sia v>^i(n— Ìì) . Allora preso un qualunque Ap„^i , sulle 

 n — h forme Fi' che non contengono 8^ ^ è determinato il sistema S';yr^(„_A)_i,„_t> Aj)„_*. 



Se 8' V („_*)_!,* è il sistema polare di 8'v („_«)_!,„-* rispetto ad Ap„, e se 

 S'v^(;,)_,v^(„_A),;j>8V^(,._*)_,,*, evidentemente ogni Ap^ di 8Vj(*)_y,(,._*).* ha Ap„_^ come 

 aggruppamento polare rispetto ad Ap„: dunque tutti gli aggruppamenti comuni a 8, ^ 

 e ^' if^(t)—y^{„-k).k , cioè tutti quelli di un sistema 8^_^^(„_A) t, ed essi soli, sono quelli che 

 hanno Ap„_^ come aggruppamento polare rispetto ad Ap„ . 



Se v>Ni(n — k), «m qualunque Ap„_t situato sulle n — k forme che non 

 contengono il sistema 8, ^ , è polare rispetto ad un dato Ap„ di tutti gli aggruppa- 

 menti di un sistema S^_fr^^„_^) ^ contenuto in 8,jf, e di nessun altro aggruppamento 



ài s,*. 



100. — Supponiamo che sia Ic^n—h, sopra li delle forme F^ prendiamo il 

 sistema 8_v^(t) ^ di tutti i possibili Ap^, sulle rimanenti n — lc forme JP," prendiamo un 



sistema 8^ e facciamo corrispondere projettivamente gli aggruppamenti di 8y^(*, », 



8iVj(*).„_*- Se G;t è un qualunque gruppo di h elementi ciascuno di una delle Fi 

 che contengono S.v^(A),a e se Ap„_^ è l'aggruppamento di 8;,r^ corrispondente all'Ap, 

 singolare i cui elementi apolari sono quelli di G* , unendo a G* i gruppi G„_a elementi 

 di Ap„_k si hanno infiniti gruppi G„, i quali, variando Gi^ in tutti i modi possibili, 

 costituiscono un A„ che è projettivo. Infatti se lasciamo fissi gli elementi di G* insieme 

 ad n — li—2 di quelli di G„_i , i due rimanenti costituiscono evidentemente un Ap^ ; 

 se lasciamo fissi k — \ elementi di G^ ed n — le — 1 di G„_;i , gli Ap^ singolari costi- 

 tuiscono un fascio e corrispondono projettivamente all'elemento variabile di G* (75), 

 gli Ap„_j ad essi corrispondenti devono pure costituire un fascio e corrispondere pro- 

 jettivamente agli Api,. ma essi corrispondono projettivamente all'elemento variabile di 

 G„_, , dunque gli elementi variabili di G*,G„_;^ si corrispondono projettivamente, le 

 loro coppie costituiscono un Aj;, , e resta dimostrato che A„ è projettivo (52). 



