DI RICCARDO DK PAOLIS 



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X. 



Gli aggruppamenti projettivi apolari, nelle forme 

 geometriche fondamentali di 1*^ specie. 



101. — Dati due aggruppamenti Xp^, se tutti gli \pn-k^ situati sulle 

 n—h Fi' che non contengono Apf, insieme ad Ap^ danno un A'j),, > Ap,, non esiste 

 l'aggruppamento polare di Aj?^ rispetto ad Aj)„, ed allora diremo che Ap^ è apolare 

 rispetto ad Xp„. 



Se Xp^ è singolare ed apolare rispetto ad A^),,, il gruppo O^f dei suoi elementi 

 apolari è apolare rispetto ad Xp^ (96). 



Per ottenere maggiore generalità negli enunciati di alcuni teoremi, siccome Xp^ 

 è apolare rispetto ad A^;,, quando insieme ad un qualunque ^p„_^, situato sulle n — le 

 forme che non contengono Xpk^ è armonico ad A^„, analogamente a ciò che abbiamo 

 già fatto trattando dei gruppi apolari (64), conveniamo di considerare come apolari 

 due aggruppamenti projettivi se sono armonici. Per indicare che Xp^ è apolare rispetto 

 ad Xp„ possiamo servirci del simbolo Xp^ > Xp„ . 



102. — Rispetto ad un dato Xp„ è apolare ogni aggruppamento projettivo 

 riducibile che contiene come parte un aggruppamento apolare rispetto ad Xp„. 



Supponiamo che Ap* contenga una parte Xp^_^,> Xp„ e supponiamo che Xp^,, 

 sia la rimanente parte. Essendo Xp^_^,>Xp,„ ogni Xp„_^_^.^, , situato sulle w — Ic + k' 

 forme JPi' che non contengono Xp^_^, , insieme ad Xpi_^, dà un X'p,^ > Xp„ , quindi 

 Ai3*_A/ e Xp^,, ossia Xp^, insieme ad un qualunque Xp„_^, situato sulle n — h forme 

 Fi che non contengono Xp^ , deve dare un X'p„ > Xp„ . Ne segue che Xp^ > Xp^ . 



Dal teorema precedente si deduce immediatamente che : 



Se k+k'^n e se XjO/t è apolare rispetto all' aggruppamento Xp)„_^,, polare 

 di Xp^, rispetto ad un dato Xp„ , Xp^, è apolare rispetto all' aggruppamento X2)„_ii 

 polare di Xp^ rispetto ad Xp^. 



103. — Se un aggruppamento Ap^ è apolare rispetto a v + l aggruppamenti 

 che individuano un sistema S,_„, è apolare rispetto a ciascun aggruppamento di S, „. 



Infatti essendo Xp^ apolare rispetto a v + 1 aggruppamenti che individuano S,_„, 

 Xp^ insieme ad un qualunque A'p„_^, contenuto nelle n — le forme F^' che non con- 

 tengono A^^, dà un A'p„ armonico ai suddetti v+1 aggruppamenti e quindi a tutti 

 quelli di S, „. 



Se Xp^ è apolare rispetto a ciascun aggruppamento di S, „ non esiste il sistema 

 polare di A^^ rispetto a S^ „, per cui allora possiamo dire che Xp^ è apolare rispetto 

 a „ . Per indicare che Xp^ è apolarc rispetto al sistema S, „ si può usare il 

 simbolo Xp^ > S, „ . 



