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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



Se v+1 aggruppamenti che individuano un sistema ^ sono apolari rispetto 

 ad un dato A^;,,, ciascun aggruppamento di S, * è apolare rispetto ad ^p„. 



Infatti ciascuno dei v + 1 aggruppamenti che individuano S,j, insieme ad un 

 qualunque ^'p„_k situato sulle n—k forme J',' che non contengono S, , deve dare 

 un A'2)„ > Aj),, , quindi ^p„_^ insieme ad un qualunque kp^ di S, deve dare un 

 A'p„ > Ajj„ , e perciò deve essere kp^ > Ajp„ . 



Se ciascun aggruppamento di S^j( è apolare rispetto ad Aj)„, non esiste il sistema 

 polare di S, rispetto ad Aj)„ , per cui allora possiamo dire che S,,* è apolare rispetto 

 ad Xp„. Per indicare che S, * è apolare rispetto ad Xp„ si può usare il simbolo S,j( > Ap„. 



104. — Se Ap^>Xp„, Ap/t è apolare rispetto a ciascun kp„_^,, polare rispetto 

 ad Xp„ di un A.Pk>, situato sopra k' delle n — k forme Fi" ehe non contengono A.p^, e \ 

 viceversa. 



Vi sono n—7c—JJ forme Fi che non contengono elementi di Àp^ e nemmeno di 

 Ap^, ; su di esse prendiamo un qualunque Ap„_^_^, . Avendo supposto Ap^ > \p„ , I 

 sappiamo clie è A'p„_^. >A^„, se A'p„_^, e costituito da Ap,^ e Ap„_i_^, (102). ' 

 Vediamo cosi che A'p„_^, insieme ad Ajf)/,/ costituisce un A'j5„ > Ajo„ e perciò, se Ap„_^, \ 

 è l'aggruppamento polare di Ap,,, rispetto ad Ap„, vediamo pure che è Ap„_^,> A'p„_^, , 

 cioè che Ap)/^ insieme ad uno qualunque degli aggruppamenti come Ap,^_^_^, dà un 

 aggruppamento armonico ad Ap„_^,, dunque Apf> Ap„_^,. 



Inversamente supponiamo che sia Ap^ > Ap„_i, . Allora Ap^ insieme ad un qua- 

 lunque aggruppamento come Ap„_^_^, deve dare un A'2ì„_y> Ap„_^:, ma A'2)„_,, sap- 

 piamo clie allora insieme ad Ap^, deve costituire un A'j),, > Ap)„ , dunque deduciamo i 

 che Ap^ insieme ad un qualunque aggruppamento costituito da due parti come Ap^,, ' 

 Ap„_^_^, costituisce un A'p„>Ap„. Ora è noto che il sistema di tutti i possibili Ap„_i, 

 situati sulle n — le forme i^,' che non contengono Ap^, si può individuare con 

 N ^{n — Jc) + 1 aggruppamenti riducibili in dtie parti come Api^^, Ap„_,^_^,, convenien- 

 temente scelti, dunque Ap^ insieme ad un qualunque Ap„_i, dà un A!p„ > Ap„ , e 

 perciò Ap^ > Ap,^ . 



Dal teorema precedente, come caso particolare, si deduce che: 



Se G*>A2)„, rispetto a ciascun Ajj„ÌV» polare rispetto ad Ap„, è apolare 

 il gruppo degli elementi di che non appartengono a G</ . 



105. — Tutti i possibili A'p^ polari rispetto ad un dato Ap„, e situati sulle stesse k 

 forme Fi, costituiscono un sistema ^jv^(„-f.),ì, (^9)- U sistema S^(i)_v^(„_t)_, >S^ ^^^^^^^ 



è costituito da aggruppamenti Ap^ che sono apolari rispetto ad un Ap„ . Esistono dunque 



n 



Api>Ap„ solamente se Ni{k) — iVi(n — le) — cioè se h>- . 



Esistono Ap^ apolari rispetto ad un dato Ap^ solamente se il loro ordine k 



11/ 



è maggiore di -, ed allora tutti 'quelli Situati sopra le stesse k forme Fi' costi- 



tiiiscono un S^y , . 



Tutti i possibili Ap„_^, situati sulle n — k forme jP," che non contengono un 



