DI RICCARDO DE PAOLIS 553 



dato Api, costituiscono un sistema 8^^(„_/),„_* • Se Ap^>A2-)„, ciascun Ap„_^ insieme 

 ad Aj)* deve dare un A'p„>Ap„ . Ora gli A'p„ costituiscono un sistema S^^(„_;t) „ quindi 

 gli Ap„ rispetto ai quali Ap^ è apolare sono quelli del sistema S^^(„)_Ar^(„_A.)_,,„>S^ 



Tutti gli Ap„ rispetto ai quali è apoìare un dato Ap^ costituiscono 



Affinchè rispetto ad un Ap„ sia apolare un dato sistema è necessario e 

 sufficiente che rispetto ad Ap„ siano apolari v + 1 aggruppamenti che individuino S^^ . 

 Ora tutti gli Aj3„ rispetto ai quali è apolare un dato Ap^ costituiscono un sistema 

 S;v^(„,_;v. («-*)-!,..' dunque: 



Se v'=Ni(n) — (v4-l)|Ni(n — k) + l|, «m dato sistema S,_^ è apolare rispetto 

 a tutti gli aggruppamenti di un sistema S^/^„, e rispetto ad essi soli. 



XI. 



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Le involuzioni projettive, di ordine qualunque n e di rango n — 1, 

 in una forma geometrica fondamentale di l"" specie. 



106. — Supponiamo che ciascuna delle forme coincida con una stessa jP^ 

 e supponiamo che sia involutoria la corrispondenza [1,1,...,1], w— univoca e di 

 rango w — 1, che fornisce un aggruppamento autopolare projettivo di ordine n (51). 

 Questo aggruppamento in questo caso è una involuzione che chiameremo involuzione 

 projettiva di ordine n e di rango n — 1 }40|, e che indicheremo con il simbolo Ip„ „_i. 



Ciascun elemento di un gruppo Cr„>Ii?„,„_i è polo dei rimanenti n — 1 rispetto 

 alla Ip„^„_i, comunque essi si considerino appartenenti alle n forme sovrapposte alla Fi. 

 Data una ip„^n-i ^ preso un qualunque gruppo Gr* (A, B, C, . ..), k<n, tutti 



i gruppi G„_^ tali che (x^ Cr„_;i > Ijp„ „_i , costituiscono la involuzione polare ^Pn'Lii^n-k-y 

 di rispetto alla Ip„,„_i }40{, involuzione che è pure projettiva. 



L'aggruppamento polare di un Ap^ rispetto ad una data Ip„,„_i è costituito dai 

 gruppi G„_jt la cui involuzione polare x'ispetto alla li^n^n-i è armonica ad Ap^ (96); 

 ma questa involuzione polare è la stessa comunque gli elementi di Gr„_^ si immaginino 

 appartenenti alle forme sovrapposte che contengono la Ii)„,„_i , dunque : 



L' aggruppamento isolare di un Ap,, rispetto ad una data Ip„,„_i è una 

 involuzione Ip„_j[,„_j_, . 



107. — Un aggruppamento projettivo di ordine n lo diremo involutorio sopra 

 una forma F^, con la quale coincidano m delle n forme che lo contengono, se sono 

 involuzioni tutti gli aggruppamenti polari rispetto ad esso di n — m elementi ciascuno 

 di una delle n — m rimanenti forme. 



Serie IL Tom. XLII. 



