554 LE CORRISPONDENZE FROJETTIVE 



E evidente che : 



Un Xp„, contenuto in n forme Fj' tutte sovrapposte, è una \p„„_i se è 

 involutorio su n — 1 qualunque delle forme Fi", 



cioè se è una involuzione l'aggruppamento polare rispetto ad esso di un qualunque 

 elemento di una qualunque delle Fi. 



108. Sono involuzioni tutti gli aggruppamenti di un sistema S, „ individuato 

 da y+1 involuzioni Ip„ „_, . 



Supponiamo dimostrato che sono involuzioni tutti gli aggruppamenti di un fascio 

 individuato da due involuzioni Vp„_^ „_,, Vp„_^ „_^. 



Se S, „ è il fascio individuato da due date involuzioni !'/)„ „_,, l"j)„ „_i , le invo- 

 luzioni polari ri>^Ìi,„_j, I"j)Ì!Li,„-s (106) individuano un fascio di involuzioni S^/„_,, 

 che è quello polare di Af rispetto a S, „ . Si vede dunque che è una involuzione 

 l'aggruppamento polare di un qualunque elemento rispetto ad un qualunque 

 aggruppamento di S, „, e quindi che è una involuzione ogni aggruppamento di questo 

 fascio (10 7). Sapendo poi che il teorema enunciato è vero per ?i = 2,v = l (44), 

 esso resta così dimostrato per v=l, qualunque sia n. 



Supponiamo dimostrato che sono involuzioni tutti gli aggruppamenti di un sistema 

 S,_i individuato da v involuzioni. 



Un sistema S„„, individuato da v+1 involuzioni, si può individuare anche con 

 una di esse Ip„,„_i e con il sistema S^i „ individuato dalle rimanenti. Avendo sup- 

 posto che sia una involuzione ogni aggruppamento di S^j „ ogni fascio generatore di 

 S,^„ contiene due involuzioni, quindi sono involuzioni tutti gli aggruppamenti di tutti 

 i fasci generatori, ossia tutti gli aggruppamenti di S^_„. Essendo vero il teorema per 

 V = 1 , qualunque sia n , ne segue che esso è vero qualunque siano « e v . 



Dal teorema ora dimostrato si deduce che tutte le possibili involuzioni projettive 

 di un dato ordine n e di rango n—1 devono costituire un sistema S,_„, del quale 

 non conosciamo ancora la specie i; ma sappiamo che deve essere i<.Ni{n) e che 

 per n—2 si ha i = 2 (80). Determinato il numero i potremo dire che una involu- 

 zione projettiva di ordine n e di rango n — 1 è individuata da i dei suoi gruppi G„, 

 scelti comunque (72). 



109. — Sopra una forma Fi prendiamo un aggruppamento singolare Ap„ i 

 cui elementi apolari siano Oi , Oj , . . . , 0„ . Un gruppo G„_i di elementi qualunque 

 della Fi , considerati come appartenenti in tutti i modi possibili ciascuno ad una 

 delle n forme Fi sovrapposte alla Fi , rispetto ad Aj;„ dà solamente gli n poli 

 Oi, Oi, . . . , 0„ . Se Ajj,, deve essere una involuzione è necessario e sufficiente che gli 

 n suoi elementi apolari coincidano in un solo elemento 0. Vediamo così che esistono 

 involuzioni singolari lp„ „^i qualunque sia n, e che queste involuzioni sono riducibili 

 e sono costituite da un aggruppamento A.pi, o involuzione Ipi^ot contato n volte. 



Se una Iìj„,„_i possiede un elemento apolare 0, manca la involuzione polare 

 „_,; ma essa è la stessa a qualunque delle n forme sovrapposte alla Fi si 



immagini appartenente 0, dunque in coincidono n elementi apolari rispetto alla 



IPn,n-i» la quale è perciò una involuzione singolare. 



