DI RICCARDO DE PAOLIS 



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110. — Consideriamo due involuzioni singolari l2;*„ „_i , Ijj*„ „_i , i cui elementi 

 apolari siano 0\ 0', ed il fascio „ da esse individuato. Il gruppo 0' 0* è apolare 

 rispetto alla Ip*„,„_t ed alla lp*„^„-i, quindi è apolare rispetto a ciascuna Ip,, (108) 

 di S, „ (103). So Ii^^,,„_t è un'altra involuzione singolare, il cui elemento apolare sia 

 0', il gruppo O'O* non è certo apolare rispetto ad essa, quindi la Ii^'„,„_i non 

 appartiene a „ e perciò insieme alle Ii>*„,„_i, Ii5%,„_i individua una rete Sj „ di 

 involuzioni, rispetto a ciascuna delle quali è apolare il gruppo 0^ 0'- 0^. Proseguendo 

 così arriviamo a dimostrare che : 



Se v^n,;/ + l involuzioni singolari Ii>„,„_i individuano un sistema S,_„ d 

 involuzioni. 



Se v<.n il gruppo dei v + 1 elementi apolari delle v + 1 involuzioni che indi- 

 viduano S, „ è apolare rispetto a ciascuna involuzione di „ , ed in particolare se 

 v = n — \ il detto gruppo è base di S, „, e siccome le n involuzioni singolari che 

 individuano questo sistema non hanno un gruppo comune distinto da quello dei loro 

 elementi apolari, S, „ ha un solo gruppo base. Se abbiamo un sistema S„ „ di 



involuzioni „_i . 



111. — Tutte le possibili involuzioni Ip„,„_i costituiscono un sistema S„ „ (80). 

 Supponiamo dimostrato che tutte le possibili involuzioni projettive di ordine n — \ 



e di rango w— 2 costituiscano un sistema S„_, e che quindi una Ii>„_i,„_j sia 

 individuata da w — 1 dei suoi gruppi, comunque scelti (108). 



Consideriamo un sistema S„ „ di Ip„,„_i (HO), prendiamo un elemento qualunque 

 della 2^1 ed n gruppi ciascuno di n — 1 elementi della Fi. Unendo ogni 



gruppo G„_i con abbiamo n gruppi 0„ che 'certo appartengono ad una ^Pn^n-i di 

 S„ „ (108). Ora w — 1 dei gruppi individuano una Ip„_i „_, e possiamo scegliere 



il rimanente gruppo G„_i in modo che non appartenga ad essa. Allora costituisce 

 un gruppo G„ della l2)„ „_i insieme a ciascun gruppo della Ij!?„_, ed insieme a 

 quel gruppo Cr„_i che non appartiene ad essa. Ne segue che è apolare rispetto 

 alla Ip„,„_i e quindi questa involuzione è singolare. Resta così dimostrato che un 

 qualunque sistema S„^„ di involuzioni Ip„,„_i contiene tutte le possibili involuzioni 

 singolari Ip„,„_i, e che quindi esiste uno solo di detti sistemi, il quale si può indi- 

 viduare con w + 1 involuzioni singolari Ij)„,„_i (HO). Ora esistendo un solo sistema 

 S„^„ di Ip„,„_i, non può esistere evidentemente un sistema S,_„ di Ip„,„_i se e>w, 

 dunque è dimostrato il teorema enunciato , perchè già sappiamo che per n=2 è 

 vero (80). 



Da esso discende immediatamente che : 



Una involuzione projettiva di ordine n e di rango n — 1 è individuata da 

 n dei suoi gruppi G„ comunque scelti. 



112. — Le w projettività coordinate a due date Tj5„,„_i , coincidono 

 con una stessa projettività H, la quale o è una involuzione o è indeterminata se è 

 IjPfl.n-i >I'a,„-i, e viceversa. 



Due sistemi S, „, S„ „ in generale hanno comune un sistema Sv/,„, se v'=n + 

 4- V — N^{n) g , dunque : 



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