556 LE CORRISPONDENZE FROJETTIVE 



Tutte le Ii>„,,_t appartenenti ad un sistema Sv,„ in generale costituiscono^ 

 un sistema S,/,„, se v'= n + v — (n)^0. 



Se S,,„>S^/„, è v"=N^{n) — v — \>0 (90); ma le l2)„,„_i appartenenti a S,-,^ 



costituiscono un sistema S,,^„ , se -J = « + v" — NJ(n)=n — v —1^0, dunque : 



Le Ipn,,,-! > S,^„ costituiscono in generale un sistema S/_„, se v'=n — v— 1>0. 



113. — Se due Aj)„, Mp„ sono armonici, e se uno di essi è singolare, i suoi 

 elementi apolari devono costituire un gruppo dell'altro, e viceversa (87). Da ciò si 

 deduce che un Xp,, ed una Ii5„,„_t singolare sono armonici se l'elemento che contato 

 una volta è apolare rispetto alla Ii)„.n_i contato n volte è apolare rispetto ad kp„ 

 cioè costituisce un gruppo di A.p„, ovvero, come diremo più brevemente, è un elemento 

 n-plo di Ap„, e viceversa. 



Se il sistema S^y è armonico al sistema S„ „ costituito da tutte le 



possibili „_i ciascun elemento della forma che contiene un aggruppamento Kp^ 

 di S^r^(„)_„_i,„ è ìi-plo per Ap,,, e viceversa. 



Per n = 2 si deduce nuovamente che ogni involuzione projettiva di 2° ordine è 

 armonica all'identità, e viceversa è una involuzione ogni aggruppamento projettivo di 

 2° ordine armonico all'identità (80). 



114. — Tutte le I'2?„, „_i armoniche ad una data Ip„,„_i costituiscono un sistema 

 S„_i_„. L'elemento apolare di una involuzione singolare l'p„^„-.i di S„_i^„ deve essere 

 jj-plo per la lp„,„-i, perchè li^»,,,»-! >I'i?„,,_i (113). Ne segue che la Ii?„,„_i non 

 può possedere più di n elementi w-pli. Infatti se ne possedesse n + l sarebbe armonica 

 a ciascuna delle involuzioni projettive singolari che li hanno per elementi apolari, e 

 quindi sarebbe armonica a tutte le involuzioni del loro sistema S„ „ (HO), cioè a tutte 

 le possibili involuzioni projettive di ordine w e di rango n — 1 (111), ciò che evi- 

 dentemente non può essere. 



Se Ap„ non è armonico a tutte le possibili I'j?„,„_i, quelle che sono ad esso 

 armoniche costituiscono un S„_i „ ; ma una lp„^„-i, ed una sola, è armonica rispetto 

 a S„_i_„, dunque Xp„ individua cosi una lp„^„^i. Supponiamo che sia un elemento 

 n-plo per la lp„^„-i. La involuzione singolare l'p„^„-i che ha per elemento apolare 

 è armonica alla Ii)„,„_i, quindi è armonica ad Ap„ ed è un elemento «-pio di 

 Ap„ (113). Se Ap„ possedesse un elemento w-plo che fosse apolare per una invo- 

 luzione singolare I'iJ„,„_i non appartenente a S„_i,„, sarebbe I'p„ „_i>Ajp„ e la l'p„ „^i 

 insieme a S„_, „ individuerebbe un sistema S, „>A2)„, ciò che abbiamo escluso. 



Una involuzione projettiva di ordine n e di rango n — 1 non può possedere 

 più di n elementi n-pli. 



Un aggruppamento projettivo di ordine n non può possedere più di n elementi 

 Tì-pli, sema che per esso sia n-plo ogni elemento della forma che lo contiene. 



Ogni Ap„ , per il quale non sia w-plo ogni elemento della forma che lo contiene 

 individua nel detto modo una Ip„,„_i che ha con esso comuni gli elementi «-pli e 

 che perciò diremo involuzione n-pla di Ap„ . 



