DI RICCARDO DE VAOLIS 



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Il teorema precedente può essere enunciato più generalmente dicendo: 



Se r delle forme che contengono icn dato Ap„ coincidono con tma stessa 

 forma Fi , non vi possono essere più di r elementi della Fi ciascuno apolare 

 contato r volte rispetto ad Ap„, senm che rispetto ad Ap„ sia apolare ogni elemento 

 della Fi contato r volte. 



Infatti se r + 1 elementi della Fi sono apolari rispetto ad Ap„ ciascuno contato 

 r volte, sono apolari rispetto ad Ap„ le r + 1 involuzioni singolari IjPr,r-i che hanno 

 per apolari i detti elementi, quindi rispetto ad Aj:)„ è apolare una qualunque invo- 

 luzione projettiva di ordine r e di rango r — 1 situata sulla Fi, e perciò è apolare 

 ogni elemento della Fi contato r volte. 



115. — Un Ap„ è armonico ad una lp„^„_i se uno stesso elemento contato 

 n — s + 1 volte in tutti i modi possibili è apolare rispetto ad Ap„, e contato s volte 

 è apolare rispetto alla Ip„,„_i . 



Il teorema è vero se s=l, perchè allora un elemento è apolare contato ti 

 volte rispetto ad Ap„ ed è apolare rispetto alla Tp„^„_i contato una sola volta, per cui 

 Ap„'>lp„„_i. Il teorema è pure vero se n = s, perchè allora è apolare contato 

 n volte rispetto alla ed è apolare contato una sola volta rispetto ad Aj)„, in 



un modo qualunque, per cui Ap„ è una involuzione singolare che ha in l'elemento 

 apolare e Ap„ > l2'„,„_i . Posto ciò è chiaro che il teorema resta dimostrato in tutti 

 i casi possibili se lo dimostriamo per n = n' , s = s' supponendolo vero per n = n' — 1, 

 s=s' e per n = n' — 1, s=s' — 1. 



Preso un elemento qualunque 0', e supposto vero il teorema per n = n' —1 , 

 s=s'—l, l'elemento rispetto ad Ap^^',_^ è apolare contato n' — s'+l={n'~ì)—{s' — 1)+1 

 volte, in tutti i modi possibili (104), e rispetto a è apolare contato s' — 1 



volte, dunque Ap^^^_^ > , e perciò in una II delle projettività coordinate ad 



Ap„,, lp„'^„,^i ad un qualunque elemento 0' corrisponde sempre l'elemento 0. Avendo 

 supposto vero il teorema per n = n' — 1, s=s', siccome l'elemento rispetto ad Ap^,_^ 

 è apolare contato n' — s' — {n — l) — s'+l volte, in tutti i modi possibili, e rispetto 

 alla Ip^' , , è apolare contato s' volte, abbiamo Ap^, '>lpZ , , e nella FI ad 



-'n'— l,n'— 2' ^ ' ^ n' — l ^ n' — l,n'— 2 



corrisponde inversamente un qualunque elemento 0'. Ne segue che la n è una 

 involuzione singolare e quindi che Aj9„/ > Ip„' . 



TJn elemento è apolare contato n — s+1 volte rispetto ad una involuzione 

 IPn.n-i . se essa è armonica a tutte le involuzioni l'p„^„-i rispetto alle quali è 

 apolare contato s volte. 



Infatti tutte le l'p„^„-ì rispetto alle quali è apolare contato s volte costitui- 

 scono un sistema Ss_i „ (105), tutte le Ip„,„_i rispetto alle quali è apolare contato 

 w — 5 + 1 volte sappiamo che sono armoniche a tutte quelle di Ss_i_„; ma esse costi- 

 tuiscono un sistema S„_, „ (112), dunque sono tutte quelle armoniche a tutte le 

 involuzioni di Sj_i „, ed esse sole. 



