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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



116. — Due iavoluzioni projettive di 2"^ ordine, contenute in una stessa forma 

 Fi, hanno sempre comune un loro gruppo G, , ed uno solo (43). Supponiamo dimo- 

 strato che V involuzioni che individuano un sistema S,_, , , essendo v uguale 

 minore di un dato numero n, abbiano sempre comune un loro gruppo , e quindi 

 uno solo (HO), base del sistema S,_,_,, il quale viene perciò costituito da tutte le 

 involuzioni projettive di ordine v e di rango > — 1 che contengono G, . Posto ciò se 

 riusciremo a dimostrare che « + 1 involuzioni Ip„+i,„, che individuano un sistema 

 S„,„+i, hanno sempre comune un loro gruppo G„^.i, e quindi uno solo, essendo vera 

 la proprietà supposta se v = 2, potremo ritenerla vera qualunque sia v. Però prima 

 di giungere a questo importante risultato, basandoci sulla ipotesi fatta, è necessario 

 svolgere alcune proprietà delle Ip„,„_i, proprietà che dopo potremo ritenere dimostrate 

 qualunque sia l'ordine n. 



117. — Sia Gn il gruppo base del sistema S„_i „ costituito dalle l'^Vn-i ar- 

 moniche ad una data Ip„,„_i (112) e supponiamo che tutti gli elementi di G„ 

 siano distinti. Allora S„_i „ è individuato dalle n involuzioni singolari I'j:>„ „_i ciascuna 

 delle quali ha un elemento come apolare. Ne segue che la Ip„,„_i, essendo armo- 

 nica alle l'i^n^n-i, possiede n elementi w-pli 0, e solamente n. 



{ s s 



Supponiamo adesso che il gruppo base di S„_,,„ sia un gruppo G„J[0*] S [0'] 

 [O*]'"! , costituito da soli e elementi distinti Allora la involuzione singolare i'p„_„_i 

 il cui elemento apolare è 0' appartiene sempre al sistema S„_, „, perchè essa contiene 

 il suo gruppo base G„ quindi è sempre l'p,, „_i > lp„^ „_i ed 0' è sempre un elemento 

 w-plo della l2\„^i. Però in questo caso possiamo immaginare che s, dei primitivi 

 elementi del gruppo base di S„_, „ siano venuti a coincidere con 0\ e siccome cia- 

 scuno di essi era prima n-plo per la lpn,„—i » possiamo dire che adesso vengono a 

 coincidere con 0' 5, elementi «-pli della Ij),, „_i , possiamo cioè considerare 0' come 

 un elemento s,-plo per il gruppo degli elementi ?i-pli della lp„ „^i e quindi asserire 

 che la Ii>„,„_i possiede almeno n elementi w-pli. Ora se essa possedesse un altro 

 elemento w-plo 0, distinto dagli elementi 0' di G„ , sarebbe armonica alla involuzione 

 singolare l'p„^„^i che ha come elemento apolare; ma la I'j)„,„_i non appartiene al 

 sistema S„_i „, perchè evidentemente non contiene il suo gruppo base G„, dunque 

 essa individuerebbe insieme a S„_, „ un sistema S„_ „ > Ij;„ „_i , ciò che è impossibile, 

 dunque non può essere n-plo per la Ip„,„_i. 



Una involuzione projettiva, di ordine n e di rango n — 1, possiede n elementi 

 n-pli, e solamente n. 



118. — Se la Ip„_„_i ha s elementi «-pli riuniti in 0, è armonica a tutte 

 le l'Pn.n-i del sistema S^, „ per le quali è apolare contato s volte, perchè esse 

 contengono tutte il gruppo G„ base del sistema S„_i,„ delle I'i)„,„_i armoniche alla 

 IPn.n-i- Inversamente supponiamo che la IjJ„ „_i sia armonica al sistema S,_, „ . Per 

 indi\'iduare S„_, „ possiamo prendere s involuzioni Vp„ „_i che individuino S,_,_„ ed 

 altre n — s convenienti involuzioni I"i)„,„_i armoniche alla Ii)„,„_i . L'elemento contato 

 s volte rispetto alle Vp„ „_^ dà n — s involuzioni polari che hanno comune un gruppo 



