DI RICCARDO DE PAOLIS 



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0„_, , il quale insieme ad contato s volte dà un gruppo (m„ comune alle '. 

 ma G„ è comune pure alle I'i)n,„_i, dunque è il gruppo base di S„_i „, e siccome 

 per esso è multiplo secondo s, in coincidono s elementi w-pli della lp„^„_i. 



Affinchè un elemento sia ?j-plo contato s volte , per una data Ip„ „_i , è 

 necessario e sufficiente che la Ij5„,„_i sia armonica a tutte le l'p„^„-t per le quali 

 è apolare contato s volte. Eicordandoci poi che in questo caso contato n — s+1 

 volte è apolare rispetto alla Ip„,„_i, e viceversa (115), possiamo dire che: 



Un elemento s-pìo per il gruppo degli elementi n-pli di una Ip„,„_i è apolare 

 rispetto ad essa contato n — s + 1 volte, e viceversa. 



119. — Sappiamo che per un Ap„, contenuto in una forma i^i , o è w-plo 

 ciascun elemento della Fi, ovvero ogni suo elemento w-plo è tale per la involuzione 

 M-pla di A_p„, e viceversa (114). In quest'ultimo caso se la Ij)„^„_i possiede n ele- 

 menti w-pli distinti, anche Ap„ possiede n elementi «-pli, e solamente w. Quando 

 s elementi n--p\i della Ip„,„_i vengono a coincidere con uno stesso elemento, se con- 

 sideriamo in esso riuniti s elementi w-pli di Ap„, e lo contiamo quindi s volte nel 

 loro gruppo, possiamo dire che: 



Un aggruppamento proiettivo di ordine n, o possiede n elementi n-pli e 

 solamente n, o per esso è n-plo ogni elemento della forma che lo contiene. 



Se rispetto ad un Ajp„ un elemento è apolare contato w — s+1 volte, in 

 tutti i modi possibili, ogni Vp„ „_i per la quale è apolare contato s volte è armonica 

 ad k.p„ (115). Ora la Ijt)„,„_i w-pla di Xp„ deve essere armonica a ciascuna I'p„ „_, , 

 dunque contato m — s + 1 volte deve essere apolare rispetto alla ^p„^„-i (11^) e 

 perciò s-plo per il gruppo degli elementi ?2-pli della Ij>„,„_i (118) e quindi di A.p„. 



Un elemento è s~plo per il gruppo degli elementi n-pli di un Ap„, se rispetto 

 ad esso è apolare contato n — s + 1 volte, in tutti i modi possibili. 



120. — Affinchè in un elemento coincidano s elementi w-pli di un dato Àp„ 

 è necessario e sufficiente che Ap„ sia armonico a tutte le l'p„^„-i rispetto alle quali 

 è apolare contato s volte. Ora queste Vp„ „_i costituiscono un sistema Ss_i_„, dunque 

 Ap„ è un elemento del sistema SjVj(„)_^ „ > Ss_, „. 



Tutti gli Ap„ che hanno s elementi n-pli coincidenti con un dato elemento 

 costituiscono un sistema, S^(„)_^ „. 



Una Ii>n,n_i, ed una sola, possiede n dati elementi n-pli. 



121. — Le I'2J„,„_i armoniche ad un Ap„ di un sistema „, v^n, costitui- 

 scono un sistema S„_i „. Questi sistemi S„_i „ corrispondono projettivamente agli Ap„ 

 di S,_„, contengono tutti il sistema S„_,_,_„ delle involuzioni proiettive di ordine n e 

 di rango w — 1 armoniche a S, „ , e costituiscono un sistema 2, „. Ora è chiaro che la 

 involuzione w-pla Ii>„,„_i di un aggruppamento Ap„ di S,^„, cioè una Ip„ „_i > S„_,_„, 

 corrisponde projettivamente a S„_i „ e quindi ad Ap„, e deve essere armonica a tutte 

 le involuzioni di S„_,_, „, e viceversa; dunque le I|>„,„_i costituiscono il sistema 

 S',.„ > S„_,_, „ . 



Le involuzioni n-ple degli aggruppamenti di un sistema S, „, contenuto in una 

 forma F^, costituiscono un sistema S',„ e corrispondono ad essi projettivamente. 



