560 LE CORRISPONDENZE PROJETTIYE 



122. — Se coincidono m, delie forme che contengono un dato Ap„, ogni 

 gruppo G„_„ , di elementi ciascuno di una delle rimanenti fornie, ha per polare 



rispetto ad un determinato A'p„ la involuzione m^-jìla lp„^,„ _i del suo aggruppa- 

 mento À.p polare rispetto ad Ap„. 



Le forme che contengono Aj)„ siano Fi^, . . . , ed altre coincidenti con 



una stessa F, . Se 6„ (i?*, . . . , B"^) è un qualunque gruppo della I^^^ „ »?^-pla 



r r' r 



Q 



di \p "~"'r, aggruppamento polare di G„_„ f vii , . . . , .4„_„ Vrispetto ad A«„, si tratta 



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di dimostrare che i gruppi G„ = G„^ G„_„^ costituiscono un aggruppamento A'„ projetr- 

 tivo. Per ciò basta dimostrare che sono projettivi tutti gli aggruppamenti polari di 

 2° ordine rispetto ad A'„ contenuti nelle coppie di forme F^, \ Fi, F^ ; . . . ; F, , Fj"""'". 



Prendiamo un qualunque gruppo come G„_t = G„_„ B*...B"'' e consideriamo 

 i gruppi Gj {B^ , B^) che insieme ad esso dànno un elemento di A'„ . Il gruppo G„_„ 



individua A^) e la sua involuzione w^-pla lp„ „ _i , ed è chiaro che la invo- 



r 



luzione polare , rispetto ad essa , del gruppo B^. . . B"'' è proiettiva ed è costituita 

 dai gruppi G». 



Prendiamo un qualunque gruppo come G„_i[At,. . . , A„_„^,B*,. . . ,B"''') e con- 

 sideriamo i gruppi Gj {Ai , che insieme ad esso dànno un elemento di A'„ . Se Ai 

 genera la F/ l'aggruppamento À.p """"r genera un fascio e corrisponde projettivamente 



m 



r 



ad allora la genera pure un fascio e corrisponde projettivamente ad 



G nt 



Ap "~'"r (121) e quindi ad Ai. Essendo j5' il polo del gruppo B'-...B rispetto 



m 



r 



alla Ip^ « _i anche corrisponde proiettivamente ad essa e quindi ad J.^, per cui 



i gruppi Gj costituiscono un aggruppamento projettivo. 

 Il teorema è dimostrato. 



123. — Sia Si „ un fascio di involuzioni e sia I'w„ „ _i quella sua involu- 



' r r' r 



zione che contiene il gruppo G'„ degli elementi m^-nli di A2ì^"~'"r. Se a ciascun 



gruppo G„_„ uniamo ciascun gruppo G'^ (C\ . . . , C""") della relativa l'j^m , m -i ab- 

 biamo un elemento G'„ = G„_„ G'„ di un aggruppamento A"„ che è projettivo, perchè 

 sono projettivi tutti gli aggruppamenti polari di 2° ordine, rispetto ad esso, contenuti 

 nelle coppie di forme Fi , Fi ; Fi , Fi* ; . . , ; Fi , Fi"'. 



Prendiamo un qualunque gruppo come G„_j = G„_„ C. . . C"'' e consideriamo i 

 gruppi Gì (CSC*) che insieme ad esso dànno un elemento di A"„. Il gruppo G„^m 

 individua l'aggruppamento Ap """"r e la involuzione I'p„ „ _i , ed è chiaro che la in- 



m r' r 



r 



voluzione polare rispetto ad essa di C*. . . C"'' è costituita dai gruppi G, ed è projettiva. 



