DI RICCARDO DE PAOLIS 561 



Prendiamo uu qualunque gruppo come G„_, [A^ , . . . , A„^„ , (7*, . . . , C"') e con- 

 sideriamo i gruppi G, (-4i, C) che insieme ad esso dànno un elemento di A"„. Se 

 genera la i^/, la Ijì^ ^„ _i genera un fascio e corrisponde projettivamente ad Ai ; ma 



l!Pm n.-i"**Ii'm .m-1. quindi ucl fascio Si „ la l'p„ „ _i corrisponde projettivamente 

 ad Al. Ora la l'p„ „ _, corrisponde projettivamente anche a perchè C è il polo 



di (7*. . . C"'" rispetto ad essa , dunque si corrispondono projettivamente Ai e e 

 perciò i gruppi G, costituiscono un aggruppamento projettivo. 



Se coincidono deììe forme che contengono un dato Ap„ ogni gruppo G„_„^, 



di elementi ciascuno di una delle rimanenti forme, ha per polare rispetto ad un 

 determinato A!'p„ quella Vp„ „ _i di un fascio Si „ di involuzioni, contenute nelle 



m, forme coincidenti, la quale contiene il gruppo degli elementi m^-pli dell'aggrup- 



pamento Ap "~'"r , polare di G„_„ rispetto ad Ap„ . 



XII. 



Le involuzioni projettive di ordine qualunque n e di rango p^n—1, 

 in una forma geometrica fondamentale di 1" specie. 



124. — Sopra una stessa forma Fi siano date n — p involuzioni lp„ „_i che 

 individuino un sistema S„_p_i„. Un gruppo G^, rispetto ad esse, determina n — p 



involuzioni polari ip^l^ „_p_i ' ^® quali hanno comune un gruppo G„_p che è polare 

 di Gj, rispetto ad una corrispondenza involutoria [n — p, n — p , . . . , n — jo] di rango p. 

 Il suo aggruppamento autopolare in questo caso è una involuzione )40{ costituita dai 

 gruppi G„=GpG„_j, che diremo involuzione projettiva di ordine n e di rango p e 

 che indicheremo con il simbolo Ip„,,. 



Se p=zn — 1 si ha una lp„ „_i, cioè una involuzione projettiva di quelle che 

 finora abbiamo studiato. Se p = o sono date n lp„^n—i 1^ quali hanno comune un 

 gruppo G„, ed uno solo, che per generalità possiamo chiamare involuzione projettiva 

 di ordine n e di rango o . Si potrebbe anche supporre p = n; allora non sarebbe 

 data alcuna lp„^„_i e si avrebbe l'aggruppamento di tutti i possibili gruppi G„, aggrup- 

 pamento che per generalità possiamo chiamare involuzione projettiva di ordine n e 

 di rango n . 



Data una lp„^^ e preso un gruppo Gi{A,B,C, .. .),Jc^p, tutti i gruppi G„_^ 

 che insieme ad esso dànno un gruppo G„ elemento della lp„^^ costituiscono in gene- 

 rale una involuzione polare projettiva 1^^*^^ _^ l^^l- 



125. — Sia S„_j_, „ quel sistema di Ip„ „_i che è individuato da n — p di 

 esse le quali abbiano comune la Ip„,^. Ogni gruppo G„ della lp„^^ è base di S„_p , .„ 

 e viceversa. Chiameremo la lp„^^ involuzione base del sistema S„_f_, „. 



Serie II. Tom. ZLII 



