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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



Sappiamo che tutte le Ip„,„_, le quali contengono p +1 dati gruppi G„ costitui- 

 scono un sistema 8„_p_i„, dunque: 



Una è individuata da p + 1 dei suoi gruppi G„, scelti comunque. 



Adesso è facilissimo veJere che le Ipi,,^^ sono sistemi fondamentali di specie p 

 costituiti da gruppi G„, per cui si possono considerare anche i sistemi fondatnentali 

 dedotti da essi applicando il principio di dualità; uno di essi, se è di specie v, si 

 può indicare con il simbolo 2, „ , ecc., ecc. 



126. — Supponiamo che tutti i gruppi di una l2J„^ abbiano una parte comune 

 G,. Allora siccome p elementi qualunque appartengono sempre ad un gruppo della 

 involuzione, deve essere p^n — 7, e si può dimostrare che le rimanenti parti G„_, 

 dei gruppi della Ip,,, p costituiscono una lp„_,^^. Ciò è evidente se p = n — fj, perchè 

 allora i gruppi G„_, sono tutti i possibili gruppi di p elementi e costituiscono quindi 

 una Ipp,f Se poi p<in — a le involuzioni polari di G, rispetto a n — 7 — p qualunque 

 Ii'r.,n-i di quelle che contengono la \p„ ^ hanno comune una Ip„_,, , , e siccome ogni 

 suo gruppo G„_, deve essere individuato dati p dei suoi elementi, G„_, G, è un gruppo 

 della Ipn, f, e vicevei'sa. 



Se tutti i gruppi di una Ip„ j, hanno comune una stessa parte G, , essendo 

 n — (T^p, la li^n. f è costituita da G, insieme a ciascuno dei gruppi di una stessa 



127. — Prendiamo due sistemi S„_j_,_„>Sj „ di IjJ„,„_i. Le loro basi sono 

 rispettivamente due involuzioni Ii3„,p, (1-5). Una involuzione di S„_p_, „, 

 di Sp „, e armonica a tutte quelle di „ , di S„_p_, e quindi il gruppo dei suoi 

 elementi «-pli appartiene a tutte le involuzioni di „ , di S„_p_, „, quindi è un 

 gruppo della Ii>„,„_p_i, della lp„^^- Inversamente un gruppo della Ip„ „_p_, , della 

 Ip„ e , è comune a tutte le involuzioni di S^^ „ , di S„_p_,_ „ , quindi è il gruppo 

 degli elementi «-pli di una Jp„^r,—i armonica a tutte quelle tli Sp „ , di S„_p_, „, 

 cioè appartenente a S„_p_i „ , o Sp_„. 



Dati due sistemi S„_p_, „>Sp „ di lp„,„_i, la base l2?„,p, \,,„-f-i di ciascuno 

 è costituita dai gruppi degli elementi n-pli delle involuzioni dell'altro. 



Siccome poi abbiamo dimostrato che le involuzioni «-pie degli aggruppamenti di 

 un sistema v<m, contenuti in una forma i^, , costituiscono un sistema S', „ (121), 

 e siccome i gruppi degli elementi «-pli delle involuzioni di S', „ costituiscono una 

 l2\,, abbiamo che: 



I gruppi degli elementi n-pli degli aggruppamenti di un sistema 8,^ „ , con- 

 tenuto in una forma Fj, costituiscono una lp„^^, 

 e più generalmente: 



I gruppi degli elementi n-pli degli aggruppamenti degli elementi S,_„, di 

 un sistema 2,/ „, contenuti in una forma Fj, costituiscono le involuzioni Ipn,, ele- 

 menti di un sistema 2'v- „. 



128. — Se due fasci S, „, S', „, contenuti in una stessa forma F^, sono projettivi, 

 sappiamo che da ciascun elemento kp„ del primo si può dedurre l'elemento corri- 



