564 LE CORRISPONTENZE PROJETTITE 



Ap„> individua un aggruppamento polare Ap "~'"r situato sulla jF^- Essendo mr<n 



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possiamo asserire che Aj)^"'"''- possiede, in generale, elementi wj^-pli, i quali cor- 



rispondono cosi al gruppo . Diremo corrispondenza projettiva ogni corrispon- 



denza [»?! ,»?,,..., , di ordine n e di rango p = r—l J35j, ottenuta nel detto 



modo per mezzo di un Ap„ . Se per Ap "'"r è «?,-plo ogni elemento della jF'/i il 



m 



r 



gruppo G„_„, è apolare rispetto alla corrispondenza }44{. 



Un elemento della F'^ è unito di ordine 5—1, rispetto ad una data corri- 

 spondenza projettiva, se è s-plo per il gruppo degli elementi w/^-pli di un aggrup- 



pamento Ap "-"r, ed allora G„_„ è un gruppo eccezionale di ordine s — 1, rispetto 



r 



alla corrispondenza stessa J39'. 



Data una corrispondenza projettiva [mj, m, , . . . , m^] e preso uno qualunque 

 dei gruppi come Gi^ i^Ai^, A^^,..., , ^<»'. tutti i gruppi G^* che insieme ad 

 e^so danno un gruppo G^ elemento delV aggruppamento A^ autopolare rispetto 

 alla data corrispondenza costituiscono V aggruppamento A * autopolare rispetto 

 alla corrispondenza |^m,-^^^ , . . . , m,- J ^o/arg di G, }37{, la quale corrispondenza è 

 pure projettiva. 



130. — Se le r forme F\' sono tutte sovrapposte ad una stessa jP,, diremo 

 elemento v-plo di una corrispondenza projettiva [tWj , >«, , . . , »?^] ogni elemento che 

 contato r volte è un gruppo del suo aggruppamento autopolare A^. Ogni elemento 

 r-plo per la corrispondenza è J2-plo per rAjp„ che la fornisce, e viceversa; dunque (119): 



Una corrispondenza projettiva di ordine n e di rango r— 1, contenuta in 

 una forma Fi , o possiede n elementi r-pli , e solamente n , o per essa è r-plo 

 ogni elemento della Fj. 



Se una corrispondenza projettiva, contenuta in una forma Fi, è di ordine mag- 

 giore di w e di rango r — 1, possiamo solamente dire che essa o possiede un numero 

 maggiore o uguale ad n di elementi r-pli, o che per essa è r-plo ogni elemento della i^,. 

 Quest'ultimo caso si può escludere se la corrispondenza è fornita da una Ij)„,n-i (114). 



131. — Supponiamo che delle n forme Fi' che contengono un dato Ap„ le k 

 Fi^'^\...,F" coincidano con una stessa i^i, e supponiamo che sia k^n — k. 



Indichiamo poi con iV* il gruppo di tutti gli Ap„_^ , polari rispetto ad Ap„ 

 degli elementi A della Fi , ciascuno contato k volte. Tutte le possibili Ip^ situate 

 sulla Fi costituiscono un ^ ed i loro aggruppamenti Ajp^* polari rispetto ad Ap„ 

 corrispondono ad esse projettìvamente e costituiscono un sistema ^it^„-i , al quale evi- 



dentemente appartiene iV*. Se un aggruppamento qualunque Ap„_^ di iV* si projetta 



dal sistema S individuato da ^ — 1 elementi Ap„_^ . . , Ap„_^ qualunque 



di iV* si ha un fascio i'i,„_*; se lo stesso Ap„_^ si projetta dal sistema S"*_, indi- 



