DI RICCARDO DE PAOLIS 565 



viduato da altri 7c — 1 elementi À.p„_n , . . . , Ap^^ qualunque di iV* si ha un altro 

 fascio 2"i,„_*. I gruppi AAK. .A*~\ AB\. . JB^~^ sono rispettivamente base di due 

 sistemi SVi,* <ii IjP*,a-i » e se ^ genera la i sistemi S',_i ,, S";,_, j gene- 



rano due fasci l'i,*, ^"i,*- Se con un fascio Sj^^ seghiamo i sistemi S'^_, ^ di l'in, 

 S, e l'i ,, vengono a corrispondersi projettivamente ; ora l'aggruppamento di S, che 

 appartiene a ^'h-ì^h è quello che contiene il gruppo AA^.. . A*~\ e siccome gli aggrup- 

 pamenti di S,^ corrispondono projettivamente ai poli A di A\..A*~^ rispetto ad essi, 

 si vede che gli S\_, , di 2', # corrispondono projettivamente agli elementi A. Anche 

 gli S";_i ^ di corrispondono projettivamente agli elementi A, dunque i due fasci 

 l'ì.kf *i e quindi anche i due 2'*,.!-*) ^"i,n-* sono projettivi fra loro. Ne segue 

 che in un dato sistema Sa,„_* un gruppo iV* è generato dagli elementi di 8^ che 

 appartengono ai sistemi S';(_i corrispondenti in Jc fasci projettivi 2',^„_^. 



Un gruppo iV* di un dato sistema S;^ è individuato da ^+3 qualunque 

 elementi. Infatti se Mt-k ,•••■> -^Pn-k sono i elementi qualunque di S;[ „_;t , e S',_,^;f 

 è il sistema individuato da Ap„_^ Ap„_^ , Ajp„_^ , . . . , Ap„_^ , projettando 



k h A 



rispettivamente da S',_j „_n altri tre elementi Aju^"*^^ , Aj)^^'^ , Ajjf^™^ qualunque di 



si hanno tre sistemi S''»-i,n-*> S"<_i_„_*, S'" ;f_, „_j di un fascio e facendo 



corrispondere projettivamente questi k fasci in modo che in due fasci come 2'j , 



I'i,„_» si corrispondano rispettivamente le coppie di sistemi come S'\^i^„_^, S",_i,„_ì; 

 S"'^,_„_, , S"',_, „_j; S"'\_i,„_», S"'^*_,,„_*, il gruppo iV* è evidentemente generato 

 dagli elementi che appartengono ai sistemi corrispondenti nei detti Jc fasci l'i^n-k- 



Dati tre elementi qualunque Ap^^2k > "^^11.* ' -^^L-i? ®^ ^ elementi 



J.", A'\ i quali contati ^ volte ciascuno debbano rispettivamente corrispondere 

 ad essi , è individuata la corrispondenza tra gli elementi della Fi , ciascuno contato h 

 volte , e gli elementi di N'', insieme alla corrispondenza projettiva tra le Ip*,*_i di 

 S;tj( e gli A^„_* di S;ì „_*. Infatti se À.p^n-i,^ • • • ■> ^P'i^n ^^"^ elementi qualunque 

 di iV*, se S;(_,_„_;f è il sistema da essi individuato, il fascio 2i,„_jt che da esso 

 projetta gli elementi di N'' deve corrispondere projettivamente al fascio Ijjj dei 

 sistemi S;_i^/f delle Iìj*,*_i che contengono un dato gruppo A^ . . . Ora la pro- 



jettività tra 2j e 2, » è individuata perchè sono dati gli elementi di iV* corri- 

 spondenti agli elementi A, A', A" ciascuno contato k volte , dunque ad ogni ele- 

 mento della Fi contato k volte corrisponde un determinato elemento di iV*. Se 

 prendiamo comunque k-\-2 elementi della F^, ciascuno contato k volte, e se prendiamo 

 i ^-|-2 elementi di iV* ad essi corrispondenti, la projettività tra gli elementi di H^^^ 

 e S;j_„_i è individuata. 



132. — Cerchiamo tutti gli A^„ tali che ogni elemento della Fi contato k volte 

 determini rispetto a ciascuno di essi uno stesso aggruppamento polare. Prendiamo k+2 

 elementi A,A^,..., ^*"^* qualunque della Fi e i k+2 elementi A.p„_^, Ap„_i , ... , Àp„_^ 

 di JV^* che corrispondono rispettivamente a ciascuno di essi contato k volte. Gli Ap„ 

 che contengono Ni{n — k) gruppi costituiti ciascuno da [A'Y e da Ni{n — k) gruppi 



di Ajp^jf costituiscono un S,/,„_i, essendo v'=Ni{n)— [k+l) Ni{n — k), e rispetto a 



