566 LE CORRISPONDENZE PROJETTITE 



ciascuno di essi l'aggi-upparaento polare di [A']* è lo stesso A.p[^. Tutti gli aggrup- 

 pamenti di che contengono Jc gruppi costituiti da [Af insieme a k gruppi di 



Ap^},, costituiscono un S^,„_*, essendo v = 'J—Jc, ed evidentemente l'aggruppamento 

 polare di [A]* rispetto a ciascuno di essi dovendo appartenere al sistema S;^ „_;j indi- 

 viduato dagli Ap„_j, e dovendo contenere Jc gruppi di Aj)„_ik deve essere precisamente 

 A^l"^^* . Ora la corrispondenza projettiva tra gli elementi [A^ e gli aggruppamenti di 

 S;t„_jt è individuata delle dette ìc + 2 coppie di elementi corrispondenti; dunque tutti 

 gli aggruppamenti di S^„_;[, ed essi soli, sono quelli cercati. 



Gli Ap„ rispetto ai quali ciascun elemento di una Fj contato k volte, k^n — k, 

 determina lo stesso aggruppamento polare costituiscono un , essendo 



v = Ni(n)-(k-f l)N,(n-k)— k. 



133. — Cercliiarao tutti i possibili Ap„ che forniscono una data corrispondenza 

 projettiva e cominciamo, a supporre che sia una corrispondenza [»»,,?»,], di ordine n 

 e di primo rango. Se mi^m, sappiamo che tutti gli aggruppamenti polari degli elementi 



della Fi\ ciascuno contato volte, costituiscono un gruppo N"'^ contenuto in un 

 S„ „ . Ora i gruppi degli elementi W2j-pli degli aggruppamenti di S„ „ costituiscono 



l' 2 1' i 



una lp„ n,^, la quale contiene l'aggruppamento costituito dai gruppi degli elementi 

 jw,-pli degli aggruppamenti di N Ciascun gruppo di corrisponde projettivamente 

 ad un elemento della F^^ contato w/j volte, ecc. ecc. 



Prendiamo »»i + 2 elementi Ai, Ai^, . . . , A"^^^ qualunque della Fj* e gli 2 



elementi 0„ , G*„ , . . . , G^"'^* di A„ che corrispondono rispettivamente a ciascuno 

 di essi contato v>i volte. Gli A^),, che contengono + l) wj gruppi costituiti ciascuno 

 da [^l'j'"* e dagli elementi di G'„^ ciascuno contato «?j volte, costituiscono un 



sistema S^,„ , essendo v' = iVi(n) — (mi4-l)mj. Evidentemente ogni aggruppamento di 

 S,, „ stabilisce tra gli elementi delle 2^,S una corrispondenza projettiva [»?, , *m,] 

 nella quale a ciascun elemento Ai corrispondono gli elementi di G'„^ . Tutti gli aggrup- 

 pamenti di S^, „ che contengono nii gruppi costituiti da [-^i]"*» insieme a tw, elementi 

 di G„^ costituiscono un sistema S,„, essendo v = v' — Wi ^.^/^(m) — w, — (w, + ?»,), 



ed evidentemente nella detta corrispondenza [wi , individuata da ciascuno di essi 

 il gruppo corrispondente ad Ai dovendo appartenere alla Ip„^ „^ individuata dai gruppi 



G'„ e dovendo contenere ?», gruppi di G„^, deve essere precisamente G„^ . Ora la 

 corrispondenza projettiva tra gli elementi [.4,] ' ed i gruppi della lp„^^„^ è indivi- 

 duata dalle dette »»i + 2 coppie di elementi corrispondenti [J.*]""', G„^ e [.4,*]"', G'„^ , 



dunque tutti gli aggruppamenti S, „, ed essi soli, forniscono la data corrispondenza 

 projettiva. 



Se Ai è un elemento non comune a tutti i gruppi G,„^ corrispondenti agli ele- 

 menti della Fi\ se Ai è un elemento non comune a tutti i gruppi G„ corrispondenti 



