DJ RICCARDO DE PAOLIS 567 



agli elementi della jP,*, e se „ è il sistema di tutti gli aggruppamenti di S, „ che 

 contengono il gruppo [-^j]""* [J,]""*, l'aggruppamento polare di [^t]"*' rispetto ad un 

 Ap,^ di S,_, „ possiede come w/.-pli gli elementi del gruppo corrispondente ad 



Ai e l'elemento A,, quindi per esso sono w^j-pli tutti gli clementi della F*, per cui 

 Ap„ fornisce una corrispondenza [n?i , w/j] rispetto alla quale ^, è apolare. Ne segue 

 che ad ogni elemento della jPj' devono corrispondere gli elementi del gruppo corri- 

 spondente insieme ad Ai, per cui ogni elemento della F*, e quindi ogni elemento 

 della Fi\ è apolare rispetto alla corrispondenza, il cui aggruppamento autopolare è 

 quindi costituito da tutte le possibili coppie formate con un elemento di ciascuna delle 

 Fi^, F*. Una tale corrispondenza la diremo indeterminata. 



Consideriamo una corrispondenza projettiva , m,, m,] fornita da un aggrup- 

 pamento Ap„ e supponiamo che sia «?i^w?t^w?j. Gli aggruppamenti Ap^'^'j^'"', polari 

 dei gruppi [Ai]"'^ rispetto ad Ap„, costituiscono un gruppo iV"» contenuto in un S,.,„_«, 

 (131). Tutti gli Ap„_„^ che forniscono la corrispondenza polare di un gruppo 

 costituiscono un sistema S/^„_„|, essendo v'= ZVj (« — Wj) — «/jjrtj — (wj + mj), e si hanno 

 così infiniti sistemi S,/^„_„j che tutti contengono il sistema S^/_,_„_„j costituito dagli 

 Ap„_„^ che forniscono una corrispondenza nti] indeterminata. Ora ciascun S,/ „_,„j 

 contiene un aggruppamento di iV"', dunque questi S^/^„_„j sono tutti quelli che si otten- 

 gono projettando da S,/_, „_„^ . I sistemi S,/_i , S„^_„_„^ appartengono ad 

 uno stesso S^'+„^_„_„^ , il quale contiene perciò tutti i sistemi S„/ „_„^ . Se gli S^/_, 



si segano con uno stesso >^i„^,„-„^ di S^,^„^ si ha evidentemente un gruppo iV''"*' di 



aggruppamenti Ap„_„^ , i quali corrispondono projettivamente ai gruppi [^i]"** e sono 



perciò polari di questi gruppi rispetto ad infiniti Ap„, ciascuno dei quali fornisce la 

 data corrispondenza projettiva. 



Prendiamo i», + 2 elementi Ai, Ai^, ^i", . . . , ^i"*'"'"* qualunque della F^^, e pren- 

 diamo iV,(«-wO-v' gruppi G;'_„,^,...,G;;!.'Ì7'"''~^', ^^^^^ g^ì Mk-^, che 

 li contengono siano quelli che forniscono la corrispondenza polare di [-il'i]"'! e quindi 

 siano quelli di uno dei sistemi S,.„_„^. Gli Ap„ che contengono tutti i detti 

 |iVi(w — Wi)— v'I (wi + 1) ~v" gruppi costituiscono un sistema S^^ („-«,]-,",/.» ^ rispetto 

 a ciascuno di essi ciascun gruppo [-41']'"" determina un aggruppamento polare del 

 relativo sistema S,,_„_„| . Si hanno così + 1 aggruppamenti polari che individuano 

 un sistema „_„^ , il quale sega gli S^,„_;„, secondo gli aggruppamenti di un gruppo 

 N"^. Siccome l'aggruppamento polare di [^i]""' appartiene a -ZV""', basta che Ap„ 

 contenga «?i gruppi convenientemente scelti; si ha dunque un sistema di Ap„ 

 ciascuno dei quali fornisce la data corrispondenza projettiva, essendo v=Ni{n—mi)—ì/"—mi, 

 ossia V = iVi {n) — nii — + + Wj) — (?»i + «?, + '"s)- 



Siano Al, A^, A^ elementi tali che A^ e A^ non appartengano rispettivamente 

 a tutti i possibili gruppi corrispondenti ad A^ insieme ad un elemento qualunque della 

 J^iS Fi, che A^ non appartenga a tutti i possibili gruppi corrispondenti ad un 

 elemento qualunque della F* insieme ad un elemento qualunque della Fi. Tutti gli 

 aggruppamenti di „ che contengono il gruppo [^i]*"' [A^"* [^3]"^ costituiscono un 



