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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



sistema S^_, „, Ora un Xp„ di questo sistema fornisce una corrispondenza [wj, w, , w?,] 

 rispetto alla quale evidentemente -4, è apolare; e dovendo perciò a due qualunque ele- 

 menti, uno della F* e l'altro della F*, corrispondere Ai insieme agli elementi di 

 un gruppo , i detti due elementi devono costituire un gruppo apolare rispetto 

 alla corrispondenza, il cui aggruppamento autopolare deve perciò essere costituito da 

 tutti i possibili gruppi G, contenenti un elemento di ciascuna delle i^i*, jPi*, F'. 

 Una tale corrispondenza la diremo indeterminata. 



Proseguendo in questo modo, se indichiamo con la somma dei prodotti dei 

 numeri , w?, , . . . , w?^ presi h a 7c, arriviamo a concludere che : 



Una data corrispondenza projettiva [mj, m,,. .. , m^] è fornita da tutti gli 

 Ap„ di un sistema S, „, e da essi soli, essendo: v =Nt (n) — Mi — M, — . . . — M,. 



Tutti gli aggruppamenti di un sistema S^_, „, ed essi soli, forniscono una cor- 

 rispondenza projettiva [mj , mj, . . . , mj indeterminata , 



tale cioè che il suo aggruppamento autopolare è costituito da tutti i possibili gruppi 

 che contengono un elemento di ciascuna delle forme Fi,...,Fi. 



134. — Supponiamo che le F^, F* coincidano con una stessa F^ e che il 

 gruppo G„, corrispondente ad un qualunque gruppo A^.-.A^, rispetto ad una data 

 corrispondenza projettiva »»,,...,»»,.] fornita da un \.p„, abbia sempre s elementi 

 coincidenti con A^. Evidentemente A^ è (wi + ?Hi)-plo per l'aggruppamento di un 

 qualunque gruppo [^s]"*^- • • rispetto ad kp„, per cui Ap„ tra le F^ , Fi, ... , F" 



individua una corrispondenza projettiva [wi+Wj, w?,, ... , w,.] indeterminata. Da ciò si 

 deduce che il sistema S^. „ di tutti gli aggruppamenti che forniscono la detta coiri- 

 spondenza indeterminata deve contenere il sistema „ di tutti gli À.p„ che forniscono 

 la corrispondenza data. Tutti gli aggruppamenti projettivi di ordine n per ciascuno 

 dei quali è apolare ogni elemento della i^, sono tutti quelli che si spezzano nella 

 identità ed in un À.2)„_,, ed essi costituiscono un sistema Sv^(„_5),„ contenuto pure in 

 S^, „. Da ciò si trae che, se v" = v + ^i(« — 2) — tra tutti gli aggruppamenti 



di S, „ quelli di un sistema S,„ „, ed essi soli, si spezzano nella identità ed in un À.p„_,. 



Se indichiamo con la somma dei prodotti Jc a Z; dei numeri mj, mt,...,m^, 

 con M'^ la somma dei prodotti k & Te dei numeri , m, , . . . , w?,. , con 31"^ 



la somma dei prodotti ^ a ^ dei numeri — l , m^— l , m^, . . . , m^, e finalmente 

 con Jf/" la somma dei prodotti k a, h dei numeri »«,,..,,?»,., si vede subito 

 che : = m, m, + {m^ + m,) M'\_, + M<" , Mj = (m, + m,) M"\_i + 31,"', 



Mi"= (wii — 1 ) (>Hj — 1) lf"'._, + (Wi + wi, — 2) + MI". Ne segue che possiamo porre 



v=N,{n) 2^.-' '^'=N,{n)-Y^M!-\, quindi ^,"=Ni{n-2)-Y^{M,-3l!)-M^+\; 



1 = 1 I =1 



ma 3Ii^3II=mim,M"',_^, dunque v" = Ni{n-2)—mimJl+'^3lA + \. Dalle 



» 1=1 ' 



i=r . i=r-i . 



formolo stabilite si deduce facilmente che: ^ J/," = w?i?M,f 1 +^ J//" j + 1 , dunque 



i=l * i=l ' 



I =r 



finalmente abbiamo : v" = Ni{n — 2 ) — ^ 31,". Abbiamo così trovato un sistema 



I =t 



