DI RICCARDO DE PAOLIS 



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Sy, „ di A;),, che forniscono la data corrispondenza, ciascuno dei quali si spezza nella 

 identità ed in un Xp„_, di un S,-/,,,,. . Si vede perciò che la data corrispondenza si 

 spezza nella identità ed in una corrispondenza projettiva [wz, — 1, »?, - 1, «jj,..., w?J 

 é che gli Aj)„_5 che la forniscono sono tutti quelli di S^„ . Applicando successi- 

 vamente s volte lo stesso ragionamento arriviamo a dimostrare che la data corrispon- 

 denza projettiva si spezza nella identità contata s volte ed in una rimanente corri- 

 spondenza projettiva [w?, — s, — 5, m^, ... , w^]. 



135. — Siano date n — p involuzioni , l2)'„ „.i alla forma 



Fi che le contiene supponiamo soprapposte n — p forme 2^i\ jF,*, . . . , jPi"~f e su di 

 essa prendiamo rispettivamente n—p gruppi G^* (^i j....,^, p),...,Gp"~f(^„_j i,..-,-4„_p.p). 



I 



Le Ip'J_^ ^^ ^ ^ hanno comune un gruppo 0'. . . 0""' i cui elementi sono (n — o)-pli 

 per una Ip„_p,n-p-M l^' quale è armonica alle suddette n — p involuzioni polari. Se 

 al gruppo Ge(„_p,=Oj,*. . . G^""? uniamo ciascun gruppo (},,_^{B\..., B"-^) della Ii)„_p, 

 otteniamo infiniti gruppi G^, di ordine |U. = + (n — p), che costituiscono un aggrup- 

 pamento che è projettivo. Per dimostrare questo teorema basta far vedere che 

 sono projettivi tutti gli aggruppamenti di 2° ordine polari rispetto ad A^^ e contenuti 

 nelle coppie di forme F^, F^; F^, F^';...; F^, F^"-'. 



Prendiamo un qualunque gruppo come G^_., = (}^^. . .(jt"~^ B^. . .B"~^ e conside- 

 riamo i gruppi come Gj (-B*, B-) che insieme ad esso danno un gruppo di A^^ . Gli 

 ti — p gruppi Gp' individuano la Ip„_f,„_p_i e l'aggruppamento projettivo polare di 

 B^. . . B"~^ rispetto ad essa è costituito dai gruppi G, . 



Prendiamo un qualunque gruppo come G|i_., = ^i ^ . . . J., ^ Gp^ . . B-. . . B"~^ 

 e consideriamo i gruppi Gj(^i i,-B') che insieme ad esso danno un elemento di A^. 

 Gli n — p — 1 grippi GJ,^ . . . ,Gp""'' individuano un fascio di Ij;„_j, „_p_, armo- 



G* g"""" G* 



niche alle T«* ^ ..... ìp"~^ ^ . Se ^, . genera la F.^, la I»* ^ genera 



un fascio S', „_p e corrisponde projettivamente al suo polo i ed alla involuzione 

 rp„_p „_p_, di S, che è ad essa armonica; ma la Ip„_p, „_p_i corrisponde projet- 

 tivamente al polo B^ del gruppo fisso B^. . . 1?""^ rispetto ad essa, dunque , , B^ si 

 corrispondono projettivamente ed i gruppi Gj costituiscono un aggruppamento projettivo. 



Eesta così dimostrato che l'aggruppamento A^ è projettivo, per cui si ha una 

 corrispondenza projettiva se a G^ ,„_j,, si fanno corrispondere gli elementi OS 0* , 



Facendo corrispondere ad n—p gruppi G^' // gruppo G„_j, comune alle loro 



involuzioni polari Ip'^^ ^ rispetto al n—p date Ijp'„, „.i 5* ottiene una corri- 

 spondenza [1, . . . , 1, n — projettiva di ordine (p-f l)(n — p) e di rango p{n — p). 



Se ciascuno degli n — p gruppi G^' coincide con uno stesso gruppo G^ si 

 deduce che: 



Si ha una corrispondenza projettiva [n— /5,...,w — p], di ordine {p+l) {n—p) 

 e di rango p , se ad un qualunque gruppo G^ facciamo corrispondere il gruppo 

 G„_p che insieme ad esso dà un gruppo G„ elemento di una data IiJ„, p. 



Diciamo elementi (p-\-\)-pli di una Ijp„, ^ quelli che sono (p + l)-pli per uno 

 dei suoi gruppi, ossia che sono (p-f l)-pli per la corrispondenza projettiva fornita 

 nel detto modo dalla \p„ ^ . 



Serie II. Tom. XLII 



