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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



136. — Supponiamo che per una data lp„^i sia doppio ogni elemento della 

 I\ che la contiene. I gruppi della lp„^y sono quelli degli elementi n-pli delle Ij)„ „_i 

 di un fascio che possiamo ritenere individuato da due di esse Ij>'„,„_i, I^Vn-i' ^ 

 la cui base è una Ii>„,„_j . Ogni elemento A essendo doppio per un gruppo G„ della Ip,, , 

 è apolare contato n — 1 volte per la Ij?,,, del fascio, i cui elementi n-p\i sono 

 quelli di G„. Ne segue che se B è il polo di [4]""' rispetto alla IiJ*„, „_i, [^j"""' B 

 è un gruppo della IiJ„.„_i, quindi è un gruppo della I|>*„, „_i, ossia J5 è il polo di 

 [^]"~' anche rispetto alla Ii>*„, „_,. Da ciò deduciamo che gli elementi (n — l)-pli 



della Ii>**_,,„_j devono coincidere con gli elementi (m — l)-pli della Ip*^.,^ „_2 , per 



B B 



cui devono coincidere le Tp'„_i,„_j , Ip*n-i,„_t: ina B e un qualunque elemento della 

 i^i , dunque devono coincidere le Il>'„,„_i, ip*n,n—ii nientre noi le abbiamo prese 

 distinte. Resta così dimostrato che non può essere ogni elemento della doppio per 

 la Ii>„, 1, per cui la lp„^i non può possedere più di 2(n— 1) elementi doppi. Come 

 in seguito proveremo (144), l'analoga proprietà vale per una Ip„ ^ anche se |3>1. 



XIV. 



Continuità delle corrispondenze projettive 

 nelle forme geometriche fondamentali di 1'^ specie. 



137. — Nelle seguenti considerazioni riteniamo che gli elementi generatori, re.ili 

 immaginari, di ciascuna delle forme geometriche fondamentali di 1" specie conte- 

 nenti un dato aggruppamento proiettivo siano rappresentati sui punti reali propri di 

 una sfera, e precisamente nel modo che già abbiamo altrove studiato (35). 



138. — Un aggruppamento proiettivo è continuo J41{. 



Abbiamo già dimostrato questo teorema per un Ap, (37), basta quindi dimostrarlo 

 per un Aj),, supponendolo vero per un Ap„_i . Il dato Ap^ sia contenuto nelle sfere 



—1 -4 



ff , <7 , . . . , 7 . 



Se ^^[Ai,A,, . . . , A,) è un elemento di Aj)„ e se I^^ è un intomo di A^ sulla 



(7\ preso tanto piccolo quanto si vuole, si tratta di provare che sulle (7*, 7" pos- 

 siamo rispettivamente prendere gli intorni sufficientemente piccoli in modo 



che appartenga ad 1^^ il polo Bi di un qualunque gruppo come G„_, (Z?. , . . . , -B„) 



costituito da M — 1 punti ciascuno di uno degli intorni !41'. 



Come intorno di un punto J., possiamo considerare un segmento della sfera 

 7' col centro sferico in A^. 



Nella corrispondenza proiettiva stabilita da Xp^^ " " all'intorno I^^ corrisponde 

 sulla 7* un segmento sferico , al quale è interno A^ ed il cui contorno corri- 



