572 LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



Cominciamo a dimostrare che gli intorni Ij^, ... , 1^ ^ si possono prendere suffi- 

 cientemente piccoli in modo che ciascun polo di G^, appartenga ad un iutorno I^i 



Supponiamo che ciò non sia possibile, supponiamo cioè che comunque si prendano 

 piccoli gli intorni I^,...,!^ ^ esistano sempre gruppi G^-i tali che almeno uno 



dei loro poli sia esterno a ciascun intorno T^j^ . Allora tra i gruppi G^-i possiamo 



trovarne infiniti tali che i loro punti situati in I^^ , ... , ^ abbiano per limite 



rispettivamente i punti Ai, ... , A^i, ed essi soli }15(. Gli infiniti poli dei gruppi 

 Pr—i hanno almeno un punto limite C^, distinto dai punti A\ e quindi distinto dal 



polo 2)^ del gruppo Ai ... A^i[C^] ' rispetto ad Xp„. Se Ip è un intorno preso 



sulla o-"" tanto piccolo quanto si vuole e sufficientemente piccolo in modo da non con- 

 tenere C^, essendo continuo Aj;„ (138) possiamo trovare sulle t', a*, . . . , (T*" gli intomi 

 1'^ , . . . , I'^ , l'c sufficientemente piccoli in modo che I'^ non abbia punti comuni 

 con Io ed in modo che appartenga ad Ip il polo di un qualunque gruppo 

 g„_i ([B'i]""*, . . . , [-BUi]"''~S [-BV]""'"') se B\,..., B'^i , B\ appartengono rispettiva- 

 mente agli intorni 7'^^, ... , 1'a^_^^ l'c^- Per punti B\, ... , B'^i. B'^ si possono evi- 

 dentemente prendere i punti Bi,...,B^_i di un gruppo ed un loro polo B^, 

 rispetto alla corrispondenza data, tale che sia contenuto in 7^ ; ma allora il polo di 



g^i è lo stesso punto B^, punto che viene ad essere comune ai due intorni ,1'c, 



mentre li abbiamo presi in modo che non abbiano punti comuni ; dunque è assurda 

 l'ipotesi fatta e perciò possiamo srupporre che gli intorni I^ , I^ ^ siano presi 



sufficientemente piccoli in modo che per un qualunque gruppo G^_i ciascuno B^ dei suoi 

 poli appartenga ad un intorno Ij . 



In un numero finito di modi si può sempre considerare hì^ come somma di ni'^ 

 numeri interi e positivi. Xe segue che se possiamo prendere gli intorni 1^^ , I^ 



sufficientemente piccoli in modo che per nessun gruppo Gr_i vi siano ju.', poli contenuti 

 in Ij , essendo assegnati i numeri ju', , con a'i + . . =zm^ e almeno uno dei 



numeri y.', diverso dal relativo numero /j.,, è dimostrata la continuità della data 

 corrispondenza projettiva. 



Prendiamo sulla c'' un fascio „ di involuzioni tale che una di esse I«„ „ _. 



' r r" r 



contenga i due gruppi G„,^([A;]\...,[A;'^J-'r), G'„^([A;f~\[A;f,...,[A;'^j'''''r^ C^), 



essendo distinto da A^*^, ciò che è sempre possibile perchè almeno uno dei numeri 

 per esempio y.'i, è diverso da zero e perchè almeno imo dei numeri u,', è diverso 

 dal relativo numero ^y., . Se ad ogni gruppo di , . . . , elementi rispettivamente 



di ciascuna sfera a', .... s"""' , come è per esempio il gruppo [^J ' . . . , 

 uniamo ciascun gruppo di quella involuzione del fascio Sj „ che contiene il suo gruppo 

 polare rispetto alla data corrispondenza, otteniamo un X'p„ (123). Due elementi di 

 questo aggruppamento sono evidentemente i gruppi [J, ]"*... [^^_,]'"'^' [^4/]^'... [A^ '"]"'"''•, 



[^rY"*'' C'r- Essendo continuo A'p„, se /^^ è un 



