DI RICCARDO DE PAOUS 



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intorno preso sulla a"" sufficientemente piccolo in modo da non avere punti comuni con gli 

 altri J^' , possiamo supporre presi gli intorni Ij , . . . , sufficientemente piccoli 



in modo die appartenga ad il polo di un qualunque gruppo G„_i costituito da 



»'i , . . • , »"r_i , i^'i- 1 , • . • , P-'m'^ punti rispettivamente degli intorni /^^ , . . . , _^ , 



Ij^,- -,Ij"''r' Allora ne segue che non vi può essere un gruppo di A'p„ costituito da un punto 



r r 



di ciascun in tomo I^,...,!^ ^ rispettivamente contato }»i , . . , v/r-t , volte, e da 

 punti di ciascun intorno , perchè se così fosse gli intorni J^i e dovrebbero 

 avere almeno un punto comune; ne segue cioè che non vi può essere un gruppo G,._i, 

 di r — 1 punti ciascuno di un intorno 7^ , ... , , tale che [x'^ dei suoi poli rispetto 



alla data corrispondenza siano contenuti in Iji . 



È finalmente dimostrato che la data corrispondenza projettiva è continua. 



140. — Siano date n'—p involuzioni Ii)„',„'_i, capaci di individuare un sistema 

 S^_p_,,„/, e sia n'^n + p. Un gruppo Gr^ determina le n' — p ^P^J_^ , le quali, 

 essendo n' — p^n, hanno comune un gruppo G„/_p (116). I gruppi 0„/=GpG„,_p 

 costituiscono una Ij»,,' ^ che è la base del sistema S„/_p_, „/. Se poniamo o=l, 

 w' = « + l abbiamo una ip„+i i. 



Fino ad ora, per semplificare gli enunciati, ci siamo limitati a considerare sola- 

 mente involuzioni projettive di ordine e di rango p. 



141. — Sopra una sfera tr sia data una lp„+i^i base di un sistema S„_i „+t 

 di involuzioni di ordine n + 1 e di rango w. Se prendiamo sulla a un fascio Si „+i 

 di involuzioni che ne contenga una data, ma che non appartenga al sistema S„_i „^.i, 

 ogni involuzione del fascio non può avere più di un gruppo comune con la IiJ„+i,i. 



Facciamo corrispondere projettivamente le involuzioni del fascio Si^„+i ai punti 

 di un'altra sfera a'. Allora un punto qualunque A della 7 appartiene ad un gruppo 

 G^i della Iìj„+i,i, e ad uno solo, e G„+i è un gruppo di una involuzione diSi_„+i, 

 e di una sola, alla quale corrisponde un punto B della cr'. Eesta così stabilita una 

 corrispondenza [w + l, 1] tra i punti A della 3- ed i punti B di un gruppo G della 7'. 



Unendo ad ogni punto della sfera a' ciascun gruppo della involuzione del fascio 

 Si, „+i la quale corrisponde ad esso nella projettività stabilita , abbiamo un aggrup- 

 pamento Aj>„^, , il quale contiene l'aggruppamento A'„^j che si^ ha unendo ad ogni 

 punto 5 di G ciascun gruppo della involuzione del fascio „^.i corrispondente ad 

 esso sempre nella stessa projettività stabilita. Essendo continuo A^^j, anche A'„^., è 

 evidentemente continuo. 



Sia G„^i f J.-]''*, . . . , [^"J''') il gruppo polare di un punto B , per cui 



ciascun punto A' è allora unito di ordine f;., — 1 e si ha p.i + /i^ -f- . . . +jU.,= m + 1- 

 Preso sulla un intorno Ig tanto piccolo quanto si vuole , essendo A'^, continuo , 

 possiamo sempre prendere sulla e gli intomi sufficientemente piccoli in modo che 



fra loro non abbiano punti comuni, ed in modo che appartenga ad Ig il polo rispetto 

 ad A'„^, di un qualunque gruppo costituito da p.^ punti di ciascun intorno / , . Ora, 



