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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



essendo continua la corrispondenza projettiva [n,n] stabilita sulla a dalla Ip„_n , (135), 

 possiamo prendere sulla a un intomo 7'^, sufficientemente piccolo in modo che ad 

 ogni punto contenuto in esso corrispondano altri /jj — 1 punti pure di I'^^ e rispet- 

 tivamente punti di 7^j,...,J^, . Se poi prendiamo 7'^i sufficientemente 

 piccolo in modo che sia parte di 7^, , è chiaro che ad ogni punto di 7'^, corrisponde 

 un punto di Ig. Così abbiamo dimostrato che è continua la corrispondenza diretta [«+1,1] 

 che abbiamo stabilito tra (7 e G ; ma anche la corrispondenza congiunta \n, «] è con- 

 tinua (135); dunque, essendo a un gruppo finito e chiuso, possiamo asserire che è con- 

 tinua anche la corrispondenza inversa, cioè che è continua la corrispondenza [n-f-1,1] 

 tra (7 e G )32{. Non potendo poi questa corrispondenza possedere infiniti punti uniti, 

 perchè ciascuno di essi deve essere doppio per la IiJ„+i,i (136), deduciamo che G 

 comcide con la a' Ì34{ e quindi che, nella corrispondenza di cui parliamo, ad ogni 

 punto A della a corrisponde un punto B della (j', ed uno solo, mentre ad ogni punto B 

 della o' corrispondono w + 1 punti A della a , e solamente n + 1. Ne segue che 

 dovendo ogni involuzione di S,_„+i corrispondere ad una posizione di B, la Ip„+i,„ 

 deve avere un gruppo comune con la Ip„+i, i , ed uno solo, quello corrispondente alla 

 posiziono del punto B che corrisponde alla Ip„+i,„. 



Supponendo dimostrato che v involuzioni essendo di un dato numero 



n, se sono capaci di individuare un sistema S,_, , hanno sempre un gruppo comune, 

 e quindi uno solo, abbiamo dimostrato che n -f- 1 Ip„+i^„, se sono capaci di indivi- 

 duare un sistema S„^ „^., , hanno sempre un gruppo comune, e quindi uno solo; dunque : 



Esiste sempre un gruppo, ed uno solo, comune a n date lp„ „_i di 

 oì^dine qualunque, se esse sono capaci di individuare un sistema S„_i . 



Tutte le proprietà che deducemmo da questa nell'ipotesi che fosse vera per y 

 involuzioni , essendo di un dato numero n, possiamo adesso ritenerle dimo- 



strate qualunque sia n. 



XV. 



La corrispondenza risultante di due corrispondenze projettive, 

 nelle forme geometriche fondamentali di l'' specie. 



142. — Date due corrispondenze projettive [»«, , m,, . . . , wj, mi, w'^], 

 rispettivamente di ordine = m, -f . . . -f , ìh' = ?»/ -f . . . -|- ni\, , e ordinatamente 

 situate sulle forme 7^,*, . . . , ; F'i, . . . ,7^'/, se le Fi, F'i sono sovrapposte ad una 

 stessa 7^1, è determinata una corrispondenza risultante [m/ »n,,...,rwi' ?«,.,»», ««'j,...,»»,»»^.] 

 di ordine n^mml-^-m'm^ — 2 mimi e di rango r-fj-' — 3 )38{. Siano Ap„, kp^- 

 due aggruppamenti che forniscano le due date corrispondenze, e siano k.p„„,^ , A.ì)„,„^ 



gli aggruppamenti riducibili che si hanno contandoli rispettivamente w'i , volte. Essi 



