DI RICCARDO DE PAOLIS 575 



determinano due corrispondenze proiettive che si hanno contando rispettivamente m\ , »«! 

 volte gli elementi corrispondenti delle due date, e le quali si possono anche ottenere 

 con due aggruppamenti Mp„„>^ , ^p„'m^ involutori sulla I\ (123). 



Delle wm'i forme che contengono ^Pm„>^ ve ne sono Wiìn\ ^. . . ,m^m\ rispet- 

 tivamente sovrapposte alle i^,', . . . , i^/, e delle m'm^ forme che contengono Mp„,,„^ ve- 

 ne sono jm'j w?, , . . . , m'^,w?, rispettivamente sovrapposte alle F\\...,F\'''. 



Preso un gruppo G„^ , . . . , -<4„^^ di n, = ?;/i(j« — m^) elementi situati ciascuno 



u 



sopra una delle forme sovrapposte alle F^,..., F^, abbiamo una involuzione l'i?^/'^ , ^ m,'-i' 

 polare di G„^ rispetto all'aggruppamento A'j)„„,^ involutorio sulla F^ , e quindi abbiamo 

 il gruppo G„^„/^ . . . , C"'"'') dei suoi elementi «?i»//-pli. 



Siccome A.'p„,„^ è involutorio sulla F^ , il gruppo G„^„,^ , comunque si consi- 

 derino i suoi elementi appartenenti alle m^ml forme sovrapposte alla F\^, determina 

 sempre uno stesso aggruppamento A'^)^^'"''"' , polare rispetto ad À!'p„,„^ , essendo 



n, =:«?j(»t' — 



Preso un gruppo G„^^5i, -S^^^ di elementi situati ciascuno sopra una delle forme 



sovrapposte alle F\*,.. .,F\''', abbiamo una involuzione l'p^"'^^, „ „,|/_, » polare di G,,^ 

 rispetto all'aggruppamento A'p„,„^ , involutorio sulla F^ , e quindi abbiamo il gruppo 



dei suoi elementi »?i»?/-pli. 

 Siccome A!p'„„,^ ò involutorio sulla Fi , il gruppo G'„^„^/ , comunque si considerino 



i suoi elementi appartenenti alle wjjW?/ forme sovrapposte alla i^/, determina sempre 

 uno stesso À'p^'"»"'"' , polare rispetto ad A'p„„, . 



Se G,,^ appartiene all'aggruppamento A'_p^'"''"''' determinato da G,,^ , viceversa 

 G„j appartiene all'aggruppamento A'p^ determinato da G„, . Infatti appartenendo 

 G„j ad A'j;^'"''"'', il gruppo G„^„^, deve appartenere alla involuzione ^'p^"l^ , ^ , perchè 

 l'aggruppamento e la involuzione sono polari rispetto ad A'j)„/„^. Appartenendo G„^„ , 

 alla involuzione ì'p^"' , , , i cui elementi «/iWJi'-pli sono quelli di G' _ >, vice- 

 versa deve G'.,,- , appartenere alla involuzione I'»""' , , , i cui elementi m,w/,'-pli 

 sono quelli di G„j„^, , cioè alla involuzione polare di G..^ rispetto ad A'p„„^, . Ne 

 segue che l'aggruppamento A'p^ polare di G'„,^„^, rispetto ad A'p„^^, , deve con- 



tenere G„j, come volevamo dimostrare. 



Due gruppi G„| , G„_ , ciascuno appartenente all'aggruppamento determinato dal- 

 l'altro nel detto modo, costituiscono insieme un gruppo G„, e tutti i gruppi G„ così 

 ottenuti generano un aggruppamento A„ che è projettivo. Per dimostrarlo, siccome 

 già sappiamo che generano un A'p^'"''"'' o A'p^ tutti i gruppi G„^, o G„j, che 

 insieme ad un dato gruppo G„^ , o G„^ , dànno un elemento G„ di A„ , basta dimo- 

 strare che presi ad arbitrio «i — 1 elementi Ai,. .. , A^^^i , ^,^+1 , . . . , A„^ di un gruppo 

 G„^ ed w, — 1 elementi 5, , . . . , , jB< 5„ di un gruppo G„ , che insieme 



