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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



a G„| dia un elemento G„ di A„, i rimanenti elementi Ai , si corrispondono 

 projettiyamente. 



Se ciascuno degli elementi Ai , J5, genera la forma che lo contiene , le 



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fi G 



l'j) "« , l'p "V , generano due fasci e corrispondono ad essi proiettiva- 



■^m,m'i,»rtim',— t «1,1»',, mim'i— l '■ r ^ 



mente. Ora abbiamo veduto che per due posizioni di -4,^ , Bi , le quali dànno due 

 gruppi G„^, G„^ costituenti un elemento di A„, ciascuna di queste due involuzioni 

 deve contenere il gruppo G'„^„^/, G„^„^/ degli elementi mym\-^\\ dell'altra, quindi 

 devono essere armoniche queste due involuzioni e perciò devono corrispondersi projet- 

 tivamente, dunque Ai^ , J?,^ si corrispondono projettivamente. È così dimostrato che 



A„ è proiettivo ; ma dalla sua stessa determinazione ^ vede immediatamente che esso 

 fornisce la corrispondenza risultante delle due date, dunque: 



Una corrispondenza è projettiva, se è risultante di due corrispondente 

 proiettive. 



143. — Due corrispondenze proiettive [m,, mj], [m/, m.'J, contenute in forme 

 tutte sovrapposte aduna stessa, hanno comuni n = mim,' + m/mi coppie di elementi 

 corrispondenti. 



Essendo sovrapposte ad una stessa forma Fi le Fi\ jPj* e le FW F'i che 

 contengono le due date corrispondenze, da esse possiamo dedurre due corrispondenze 

 proiettive risultanti di ordine w = m,Wi' + w/jhj (142), una sulle i^/, F'^ e l'altra 

 sulle Fi', F'i. Ora è evidente che una coppia di elementi corrispondenti comune alle 

 due date corrispondenze deve essere fornita da un elemento doppio di ciascuna delle 

 due risultanti , e viceversa. Ne segue che o il numero delle dette coppie è uguale 

 all'ordine n di una delle corrispondenze risultanti, ovvero tutte le coppie di elementi 

 corrispondenti sono comuni alle due corrispondenze date; ma questo caso va escluso, 

 perchè allora dovrebbe essere mi = mì, m^^rnÌQ le due corrispondenze coinciderebbero; 

 dunque il teorema è dimostrato. 



144. — Sia data una ^, costituita dai gruppi comuni alle Ii)'„,,j_i , • • . , 



e supponiamo che per essa sia {p + l)-plo ogni elemento della forma che la contiene. 

 Facendo corrispondere ad ogni elemento gli n — p che insieme ad esso contato p volte 

 danno un gruppo della \p„ ^ si ha una corrispondenza projettiva \j> {n — p) , n — p^, la 

 quale si spezza nella identità ed in una corrispondenza projettiva \j){n—p) — \,n — p — ij . 

 Se Ii)„_j4.i è la involuzione costituita dai gruppi comuni alle l2)'„_„_i , Ij>^"2~| , 

 facendo corrispondere ad ogni elemento gli n — p — \, che insieme ad esso contato ^+1 

 volte dànno un gruppo della , si ha una corrispondenza projettiva 1), 



«— /5— ij. Ora è chiaro che le due corrispondenze ottenute devono avere infinite coppie 

 di elementi corrispondenti comuni, dunque devono coincidere e deve perciò essere 

 (<54-l)(n — 15 — 1) = (n — |o) — 1, ossia 2p = n. Se dunque escludiamo questo caso, 

 possiamo asserire che la Ij;„ ^ non può avere infiniti elementi (p-t-l)-pli. Supponiamo 



adesso che sia 2p—n, consideriamo cioè una Ip,,," , per la quale sia iT^ + ll-plo 



